Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
V-Vrn^n (ft + 1) гп~2,
правая часть которого обращается в нуль при я — 0, тогда g (r) = const, и при п=— 1, т. е. функция g(r)— 1 /г — решение уравнения Лапласа, V2g (/-) = 0.
Вторую операцию можно записать как
і j k
V X Vqp =
дх
ду дх
ду дер
~ду
д дг дф ~дг
(1.76)
Раскрывая определитель, получаем
• (1-77)
Здесь предполагалось, что можно изменять порядок дифференцирования. Это можно делать только Тогда, когда первые частные производные (р непрерывны. Далее, из уравнения (1.77) следует, что ротор градиента тождественно равен нулю. Следовательно, градиент — всегда безвихревой вектор.
Четвертое выражение представляет собой смешанное произведение, которое можно записать так:
V-VxV =
д д д
дх ду дг
д д д
дх ду dz
Vx V* Vz
(1.78) 42
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Снова, предполагая выполненным условие непрерывности функций, в результате чего порядок дифференцирования становится несущественным, получаем
V-VxV = O. (1.79)
Таким образом, дивергенция ротора равна нулю, т. е. ротор — всегда соленоидальный вектор. В разд. 1.15 мы увидим, что с помощью теоремы Гельмгольца любой вектор можно разложить на соленоидальную и безвихревую составляющие.
Последнее выражение удовлетворяет соотношению
V X (V X V) = VV-V-V.VV. (1.80)
Оно следует из уравнения (1.49), которое записывается так, чтобы С в каждом члене был справа. Член V - VV исключен из рассмотрения, но его можно определить уравнением (1.80). Если V разложить на компоненты в декартовой системе координат, то V-VV — векторный лапласиан — приводится к векторной сумме обычных скалярных лапласианов:
V-VV = IV-VKx + jv-v^ + kv. Wz.
Разлагая на декартовы координаты, можно показать, что уравнение (1.80) — векторное тождество. ^!Важное приложение тождества (1.80) связано с волновым уравнением в электромагнитной теории. В вакууме уравнения Максвелла принимают вид
a) V-B = O, в) VxB-B0lX0 дЕ
... . (1-81)
б) V-E = O, г) VxE
Здесь E — электрическое поле; В — магнитная индукция; е0 и ^0 — электрическая и магнитная проницаемости (в единицах МКСА). Предположим, что В определяется из уравнений (1.81в) и (1.81г). Это можно сделать, взяв ротор от обеих частей уравнения (1.81 г) и производную по времени от обеих частей уравнений (1.81в). Поскольку пространственная и временная производные коммутируют, т. е.
I-VxB=Vxf-, (1.82) й6следовательн0е гфймененйё оператора v 43
то
VX(VxE)=-e0p,0^f. (1.83)
Комбинируя уравнения (1.80) и( 1.816), получаем векторное волновое уравнение электромагнитного поля
V-VE = 6^?I- (1-84)
Снова, если E разложить в декартовых координатах, то (1.84) распадается на три скалярных волновых уравнения, содержащих скалярный лапласиан,
К
Упражнения
1. Доказать, что VX(<pVq>)=0.
2. Доказать, что вектор (Vu)X(Vo) соленоидален, если и и v дифференцируемые скалярные функции.
3. Скаляр ф удовлетворяет уравнению Лапласа V^=O. Показать, что вектор ^ф соленоидальный и безвихревой.
4. Убедиться, что C4 = Vty, C2=Vxaty и C3 = Vx(Vxaty)-решения векторного волнового уравнения
V2C+VV-C—Vx VxC+?2C™0.
Здесь ty удовлетворяет скалярному волновому уравнению V2ty + -f-&2ty=0 и а—постоянный вектор. Доказать также, что C1 и (? ортогональны, вектор Ci безвихревой, a Cz и C3-соленоидальные векторы.
5. Доказать, что тождество Г.
VX(VXV) = VV-V-V-VV"
вытекает из правила ВАС—CAB для двойного векторного произведения. Объяснить произвольное расположение множителей в членах ВАС и CAB.
6. Показать, что любое решение уравнения
VxVxA-^2A=O
автоматически удовлетворяет векторному уравнений) Гельмгольца V2A-f-^2A=0 и условию соленоидальности V-A = O.
7. Скалярный потенциал «ьм—Jl (&*) Ylm (6» ф) удовлетворяет скалярному уравнению Гельмгольца
V2MbM+ Wulm=O.
Используя оператор момента количества движения L=—/(rxV), можно построить векторные потенциалы
aIM =--rVX ijiLM' aLM = lluLM- 44
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Показать, что оба потенциала удовлетворяют уравнению
VxVxA—&2А=0. 8. Зависящее от времени уравнение Шредингера имеет вид
Г л2 п
L 2/гГ V * V + V (г) J t|) (г, t) = ih
dt
Положим, t) = A(r, t) eiS(r"t)Ih.
Показать, что такое представление ij) приводит к двум уравнениям (отдельно для реальной и мнимой части):
dS (VS)2 , 17_ &2 VM
dt 2т 2т Ai
ЗА А
т Ж +(VА)'(VS) + "2" V25=
В квантовой механике плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства р определяется величиной Л2, а плотность тока J —величиной A2VSJm. Показать, что второе из записанных уравнений эквивалентно уравнению непрерывности
dt
9. Пусть ty—скалярная функция, показать, что она удовлетворяет уравнению
(гX VHrx V) $ = 4? -2г -?-.
1.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
Вслед за дифференцированием векторов рассмотрим интегрирование векторов. При этом начнем с линейного интегрирования, а затем перейдем к поверхностным и объемным интегралам. В каждом из этих случаев интеграл от вектора будет сводиться к интегралу от скалярных функций, причем предполагается знакомство читателя с последним типом интеграла. Используя приращение длины dr, можно определить линейные интегралы:
