Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 14

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 185 >> Следующая


ч

Рис. 1.19. Дифференциальный прямоугольный параллелепипед S (начало координат в центре параллелепипеда).

и поместим начало координат в геометрический центр этого элемента объема. Поверхностный интеграл сводится к шести интегралам по каждой из шести граней параллелепипеда. Помня, что вектор da направлен наружу, имеем da • і ~ — I da I для поверхности EFGH и + \ da | для поверхности ABCD, поэтому

J Ф do~ — і J ^ф—dydz +

EFGH

+¦ J J (»-IMF)**+

ABCD AEHD

+ І J + J (v-i$)dxdy +

--------ABFE

j (»+ги**.

BFGC

DCGB 1.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ

49

Каждая подынтегральная функция вычисляется в начале координат, а затем вводится поправка на расстояние до центра грани. Перегруппировав члены, получаем (с учетом сказанного)

= + + (1.93)

Поделив полученное выражение на ^ dx = dx dy dz, убеждаемся в справедливости (1.90).

При доказательстве мы пренебрегли поправочными членами, содержащими производные более высокого порядка. Дополнительные члены, которые вводятся в разд. 5.6 в связи

с рассмотрением ряда Тейлора, исчезают в пределе j dx ->¦

0 (dx 0, dy 0, dz-у 0). Безусловно, для более строгой проверки уравнений (1.90), (1.91) и (1.92) необходимо совершить указанный предельный переход.

Справедливость уравнения (1.92) доказывается аналогично (используется дифференциальный объем dx dy dz).

Упражнения

1. Поле сил, действующих на двумерный линейный осциллятор, можно записать как F=—ikx — )ky. Сравнить работу, которая совершается при движении от точки (І,1) до точки (4,4) в поле этих сил в случае трех различных путей перемещения: (1,1) —> (4,1) —> —> (4,4), (1,1) —» (1,4) —> (4,4) и (1,1) —> (4,4) вдоль линии х~у.

(4,4)

Для этого оценить интеграл— | F-dr.

(1, D « •

2. Задано поле сил F-- Г"1 ^2 -j— ** . Определить работу,

% ~т~У X -у

совершаемую при движении по окружности единичного радиуса против часовой стрелки от 0 до я и по часовой стрелке от 0 до —я (окружность лежит в плоскости ху). Напомним, что работа зависит от выбора пути.

3. Вычислить интеграл ^ г-der, взятый по поверхности еди-

S

ничного куба, который определен точкой (0, 0) и единичными отрезками в положительных направлениях осей X1 у и г. Заметим, что г-da равно нулю для трех граней, а каждая из оставшихся граней вносит в интеграл одинаковый вклад. 50

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

I dcrxV

S

4. Доказать, что Iim—-=VxV. Замечание. При доказа-

ло Idx

J S

тельстве пользоваться элементарным объемом dxdydz.

5. Найти работу, которая совершается при перемещении из точки (1,1) в точку (3,3). Приложенная сила равна F—і (х— f/)+j (*+#). Определить точно путь перемещения. Заметим, что эта сила не консервативна.

1.11. ТЕОРЕМА ГАУССА*

В этом разделе мы установим полезное соотношение между поверхностным интегралом от вектора и объемным интегралом от производной вектора. Пусть заданы V и V. V, непрерывные во всей интересующей нас области. Теорема Гаусса утверждает, что

j V-Жг = j V-Vdt. (1.94)

S V

При обсуждении уравнения (1.61) мы указали, что под V. V можно понимать количество жидкости, вытекшей из единичного объема. Следовательно, правая часть уравнения (1.94) равна полному количеству жидкости, вытекшей из объема К, по которому ведется ийтегрирование. Убеждаясь, что левая часть уравнения описывает поток жидкости через поверхность 5, которая ограничивает данный объем, мы тем самым доказываем теорему Гаусса. Более детальное и математически строгое доказательство теоремы Гаусса мойшо найти в литературе, рекомендованной к данной главе.

Из теоремы Гаусса вытекает одно полезное следствие, известное как теорема Грина. Если и и v — две скалярные функции, то имеем

V. (uVv) S uV. Vu + (Vw). (Vy), (L95)

V. (vГ и) == VV. Vu + (Vv). (Vu). (1.96)

і

Вычитая (1.96) из (1.95), интегрируя по объему (и, v и их производные предполагаются непрерывными) и применяя формулу (1.94) (теорему Гаусса), получаем теорему Грина

j (ttV.Vu — vV-Vu)dx— j (wVu — uVu)-da. (1.97)

* Более точно следует называть данную теорему теоремо^ Остроградского — Гаусса.— Прим. перев. 1.11. ТЕОРЕМА ГАУССА

51

Уравнение (1.95) допускает иную запись:

j uVv-da= j uV-Vvdx + j Vu-Vvdx. (1.98)

SV V

Несмотря на то что выражение (1.94), содержащее дивергенцию, является ,наиболее важной формой записи теоремы Гаусса, может встретиться и такая форма этой теоремы, когда объемные интегралы будут содержать градиент и ротор. Предположим, что

V (х, у, z) = V (х, у, z) а, (1.99)

где а — постоянный по абсолютной величине и направлению вектор (направление выбрано произвольно, но выбранное направление затем всегда остается фиксированным).

С помощью соотношения (1.62а) уравнение (1.94) в этом случае перепишется так:

a ^ Vda = j V-^Vdx = Z j VVdx1 (1.100)

VV V

что, в свою очередь, можно представить

а. [ j Vda- j VVdxj = 0. (1.101)

S V

Поскольку I а ) Ф 0, а направление этого вектора произвольно (т. е. косинус угла не равен тождественно нулю), из (1.101) следует, что
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed