Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
j Brfff = j Vx A da== 0. (4)
По теореме Стокса
j V xA-da = ^ A-d%. (5)
Уравнение (5) эквивалентно условию для поля консервативных сил
A-Vq). (6)
Подставляя в (3), получаем
B = VxA=Vx V<p=0,
т. е. все магнитные поля В исчезают (магнитные поля не являются реальностью).
Р 1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
а
Скалярный потенциал. Если некоторую силу в заданной области пространства 5 можно выразить в виде отрицательного градиента некоторой скалярной функции ф
F=-^, (1.115)
то ф будем называть скалярным потенциалом. Сила F, равная отрицательному градиенту однозначного скаляр-ного потенциала, называется консервативной силой. Определим условия существования скалярного потенциал к. Для этого следует показать, что два соотношения
VxF-O, (1.116)
§
F-Cfr = O (1.117)
эквивалентны уравнению (1.115). Выражение (1.117) справедливо для любого замкнутого контура в области S. Дока- 1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
57
жем, что каждое из трех записанных выше уравнений эквивалентно двум другим. Начнем с уравнения
F=-Vqj1 (1.118)
которое сводится к (1.116) с помощью соотношения (1.77). Интегральное условие (1.117) с учетом (1.56) перепишется в виде
§Fdr= V<p.dr= — <§)d<p. (1.119)
Интегрирование по d<р дает ср, но так как рассматриваемый контур замкнут, то его концевые точки совпадают, поэтому результат интегрирования будет равен нулю для любого замкнутого контура в области 5, в которой справедливо уравнение (1.116). Обратим внимание на сделанные ограничения: 1) требование однозначности потенциала; 2) выполнение условия (1.115) во всех точках Это замечание существенно в теории скалярного магнитного потенциала для кругового тока. Как Рис. 1.22. Возможные пути ТОЛЬКО МЫ выберем КОНТур обхода при совершении работы.
в пространстве, который
окружает линии тока, магнитный скалярный потенциал перестает быть однозначным, и приведенный анализ применять нельзя.
Продолжая доказательство эквивалентности, полагаем,
что выполнено условие (1.117). Если ^ F-dr — 0 для любого контура в S, то значение интеграла, вычисленного между двумя точками А и B1 не зависит от пути (рис. 1.22). Действительно, поскольку
ф F-A = Of
ACBDA 58
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
TO
j F-dr== — j F-Gfr= jjF-dr, (1.120)
ACB BDA ADB
где перемена знака указывает изменение направления интегрирования. Физически это означает, что работа, совершаемая при перемещении из точки А в точку Bi не зависит от пути, а работа при перемещении по замкнутому контуру равна нулю. Благодаря этому сила названа консервативной — энергия сохраняется.
Из уравнения (1.120) следует, что работа зависит только от концевых точек А и B1 т. е.
в
j F.dr = <p(4) —ф(В). (1.121)
А .
Выбор знака при положительном обходе контура произволен. В данном случае знак выбран в соответствии с (1.115). Для точек Л и Б, отстоящих друг от друга на расстояние dr, уравнение (1.121) принимает вид
F-dr = — d<p = — Vtp.rfr,
откуда
(F + V<p).rfr = 0.
Учитывая, что dr произвольно, получаем нение (1.115). Если
то (1.116) можно получить, применяя теорему Стокса (1.109):
§>F dr = j VxF-dcr. (1.124)
Если в качестве контура интегрирования выбрать периметр элемента поверхности da, то подынтегральная функция в поверхностном интеграле обратится в нуль. Следовательно, из (1.117) вытекает соотношение (1.116).
Наконец, если VxF = O, то для получения из этого условия уравнения (1.117) необходимо обратить последовательность доказательства теоремы Стокса [в форме (1.124)]. Далее, с учетом (1.121) и (1.123) получается уравнение
(1.122)
(1.123) из (1.123) урав-
А 1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
59
(1.115). Эквивалентность всех трех соотношений демонстрируется следующей схемой:
Суммируя результаты, полученные в этом разделе, можнр сказать j что скалярный потенциал ср существует тогда и только тогда, когда вектор F безвихревой, или работа, совершаемая при перемещении вдоль любого замкнутого контура, равна нулю. Гравитационные и электростатические силы, заданные уравнением (1.75), являются безвихревыми и, следовательно, консервативными, поэтому гравитационный и электростатический потенциалы существуют.
Пример 1. Найдем скалярный потенциал для гравитадионной силы, действующей на единичную массу
Gmitn2TQ Aro pG=--Ji—=-7^ •
Интегрируя (1.115) от бесконечности до г, получаем
Г со
¦ <Pg(')-<Pg («>) = — j fG'dr=+ f Fg-Лг. (1.125)
OO Г
Полагая, что Fg=—F (F —сила, приложенная к масеё), и учитывая (1.88), видим, что потенциал равен работе, которая затрачивается на перенос единичной массы из бесконечности в точку г. (Можно определить только разность потенциалов. В данном случае произвольно полагалось, что на бесконечности потенциал равен нулю.) Интеграл в правой части уравнения (1.125) отрицателен, т. е. значение qpG(r) также отрицательно! Поскольку Fq радиальна, то
ОС« , - J
• Г kdr k Gmim2
фоM= J--^r=- =--- • -и
Г
Знак минус означает, что гравитационная сила есть сила притяжения. 60
Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
