Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
V~ro(r<)'V)—Го X (i*o X V), vx(rxv) = rv2-v(l+r^) .
11. Показать, что уравнения Максвелла в сферических координатах имеют вид
TiEl+
г sin О* dtp г w dt
1 д (гE0) 1 дЕг аяф у—г—
k * Tr ^+Тіїїїе' I <sin ея°>+гЖе ¦
К этим уравнениям нужно добавить еще четыре с заменой E —> H И [IQH —^ — Є(|Е.
; 2.5. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
»
В декартовых системах уравнение Гельмгольца (2.1) с помощью лапласиана (2.26) приобретает вид
+ ? + 0- (2.42)
Ограничимся случаем постоянного k2, Вероятно, самый простой путь решения дифференциального уравнения в частных производных типа (2.42) состоит в том, чтобы свести его к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого положим
ф (.X9 у, Z)= X (X) Y {у) Z (Z) (2.43)
і
и подставим в (2.42). Как мы узнали, что можно представить функцию i|) (х, у, z) в виде (2.43)? Ответ очень прост: мы вообще не знаем, справедлию ли такое представление искомого решения. Но если наша попытка увенчается 2.5. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
87
успехом, то представление і|) в виде (2.43) подтвердится. В противном случае уравнение (2.42) следует решать с помощью функции Грина, интегральных преобразований или численных методов.
Положим, что представление (2.43) справедливо, подставим его в (2.42):
YZ^t + XZ^+XY^ + k*XYZ = 0. (2.44)
Разделив на ty — XYZ и перегруппировав члены, получим
1 d*x _ ,а 1 &Y 1 т ,9 ~
Таким образом, переменные разделяются: левая часть уравнения зависит только от х, тогда как правая только от у и г. Поскольку X, у и г — независимые переменные, поведение X не может определяться поведением у и г. Следовательно, остается приравнять каждую часть уравнения некоторой постоянной, постоянной разделения. Мы выберем *
T-S---* (2-46>
R Y dy* Z 1 •
Теперь перепишем уравнение (2.47):
Y dy* R +1 Z dz* •
переменные снова разделены. Приравняем каждую часть уравнения постоянной:
V--Sr=->»% (2-49)
-g-S«-А*+'р+ /»•"=-я*. (2.50)
Введенная постоянная п2 позволяет получить симметричный набор трех обыкновенных уравнений (2.46), (2.49) и (2.50), которые^заменяют уравнение (2.42). Таким образом, исходное предположение (2.43) оказалось оправданным.
* Выбор знака здесь произведен совершенно произвольно, но в каждом конкретном случае определяется спецификой рассматриваемой задачи и диктуется конкретными граничными условиями. 88
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
Решение должно иметь индексы в соответствии с выбором постоянных /, т и п:
Ьшп (х, у, z) = X1 (х) Ym (у) Zrk (z)t (2.50а)
где /, т и п — любые числа, удовлетворяющие условию k2 ~- I2 jT т2 -{- пФункция (2.50а) должна быть решением уравнения (2.1), если Xi (х) — решение уравнения (2.46), Ym (у) — решение (2.49), Zn — решение (2.50). Общий вид решения уравнения (2.1) можно представить как линейную комбинацию решений %mn
tF= S alM7$lmn. (2.506)
1, т, п
Постоянные коэффициенты aimn выбираются так, чтобы выполнялись граничные условия задачи.
Каким образом можно добиться этого и почему можно записывать решение в виде (2.506)? Такое представление основано на том, что V2 + k2 — линейный дифференциальный оператор. По определению, линейный оператор X обладает двумя свойствами;:
X(Oty) = % (?1 + ?) = ^i + ^fe
где а — постоянная.
Следствием этих свойств является то, что любая линейная комбинация решений линейного дифференциального уравнения также будет его решением. Из явного вида оператора V2 + k% вытекает, что он линейный. TaKHNf образом, решение уравнения (2.42) можно записать в форме (2.506).
Рассмотренный метод разделения переменных действует, и в том случае, когда ' J
& = f (*) + g (у) + h(z) + k'2, (2.50b)
где k'2 — новая постоянная.
Уравнение (2.46) теперь принимает вид
Y'-SrW W= (2f50r)
Решения XfYnZ будут уже иными, одцако преобразование дифференциального уравнения и построение линейной комбинации решений остаются прежними.
Читате^» не должен удивляться, почему в этом раздеде, мы разбирали метод разделения переменных дифференциала 2.5. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
89
ного уравнения в частных производных. Этот пример приведен здесь в качестве иллюстрации полезности различных систем координат. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся после разделения переменных, изложены в гл. 8—13.
Попытаемся разделить переменные в уравнении (2.1) с постоянным записав это уравнение в сферической системе координат. Используя формулу (2.32), получаем
(2.51)
Положим теперь
¦ф (г, е, ф) R (г) Є (9) Ф (ф). (2.52)
Подставим (2.52) в уравнение (2.51) и разделим на RBQ):
1 d і , dR\ 1 d (z[nbde\ Rr2 dr, V dr ) 6r2sin6 dB V 0 de I ¦
+ c^IEi?'^r= (2*53)
Заметим, что вместо частных производных в уравнении появились обычные. Умножив на л2 sin2 6, выделим член
Ф dcp2 ~г 0 L ГЩ dr V dr }
-тае! (sin0I)]- <2-54>
Уравнение (2Т54) связывает функцию Ф, зависящую только от ф, с функцией» которая зависит от г и 0. Поскольку переменные г, 8 н ф независимы, можно ,приравнять обе части этого уравнения некоторой постоянной. Следует заметить, что почти во всех физических задачах ф играет роль азимутального угла, поэтому более вероятно, что решение будет иметь периодический характер, а не экспоненциальный. Учитывая это, полагаем постоянную разделения равной —т2, тогда
