Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2. Вычислить скалярный потенциал центробежной силы, действующей на единичную массу. Сила направлена радиально от центра и равна Fc — wVro • В отличие от примера 1 интегрирование проводится от начала координат, причем полагаем <рс (0) = 0.
Потенциал центробежной силы имеет вид
<Рс
г
(г) = -j Fc^r =
0)2/-2
Рис. 1.23. Зависимость потенциальной энергии от расстояния:
<P(j — гравитационная, ф^ — центробежная, Фосд — энергия линейного гармонического осциллятора,
Если изменить знак и положить F0C1J=-Ar, то потенциал линейного гармонического осциллятора
<Росц = ^2/2.
На рис. 1.23 представлены потенциалы гравитационной и центробежной силы, а также потенциал линейного гармонического осциллятора. Последний . характеризует устойчивое состояние и описывает силу возврата, Потенциал центробежной силы описывает Неустойчивое состояние.
В термодинамике, которую в свое время называли наукой о полных дифференциалах, встречаются уравнения типа
df = P(Xi y)dx + Q(x, y)dy. (1.126)
Обычно требуется определить, зависит ли интеграл
y)dx + Q(x, у) dy] только от конечных точек
контура интегрирования, т. е. является ли df полным дифференциалом. Необходимое и достаточное условие этого формулируется в виде уравнения
0.126а)
или
Р(Х,У)
I-, <2(x,0=|L. (1.1266).
Функции PhQ, удовлетворяющие (1.1266), связаны соотношением
дР (.X, у) dQ (.X, у)
ду
дх
(1Л26в) 1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
61
которое представляет собой точную аналогию условия (1.116), требующего, чтобы F был безвихревым. В самом деле, z-компонента уравнения (1.116) дает
dF dFv
^l = -ST- <1126г>
Векторный потенциал. В некоторых областях физики, особенно в электромагнитной теории, часто вводят векторный потенциал А такой, что поле В задают в виде
B = VxA. (1.127)
Очевидно, если выполнено (1.127), то на основании (1.79) V-B = O и, следовательно, В — соленоидальный вектор. Докажем обратное, т. е. если В соленоидален, то векторный потенциал А существует. Докажем это утверждение прямым вычислением А. Пусть В = Ibl + jb2 + а векторный потенциал А = Iai 4-ja2 + ka3. Из уравнения (1.127) имеем
= (Ы28а)
(1.1286)
?-?-*. (1.128В)
Предположим далее, что система координат выбрана таким образом, что А параллелен плоскости yz, т е. а1я = 0. Тогда
Ьг-^. b-fr. (1.129)
Проинтегрируем
X X
CL2=-. ^b3dx + f2(y,z), Cts = — ^ b2dx + f3(г/, г), (1.130)
ЗСО
где f2 и /з^-производные функции у И Z1 не зависящие ОТ X. Подставляя (1.130) в (1.128а) и учитывая, что V-B = O, получаем
X
даг да2 Г ( db2 , дЬ3\ < df3 df2 __
IGf+
ду dz J \ ду dz ) ду dz
XQ
X
дЬ<с1х + ф.-ф.. (1.131)
J дх """ 1 ду dz
Xft 62
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Интегрируя по Xi имеем
- *L = М*. 9, *У-bi (*. У, *) + -?--- (1 • 132)
Поскольку U и fz—произвольные функции у и Zi можно положить
У
/8 = 0, Zs= J М*0, у;г)*у, (1-133)
VQ
после чего в соответствии с (1.128а) в правой части (1.132) остается зависимость от одной лишь функции bi (je, yt z). Взяв f2 и Zз, из (1.133) можно построить А:
X у X
A~j jb3(x, у, z)dx-\-k[ у, у, г) dxj.
Xo уо XO
(1.134)
Это определение не является совершенно полным. Можно прибавить произвольную постоянную, поскольку В записывается через производную от вектора А. Однако, что более важно, можно прибавить и любой градиент скалярной функции Vcpj не изменяя В. Наконец, в силу произвольности fz И Z3 возможен другой выбор этих функций. В разд. 1.15 дополнительно будет определена величина V -А.
Пример 3. Для иллюстрации построим магнитный векторгікй потенциал. Рассмотрим частный, но очень важный случай постоянной магнитной индукции
B = k Bzt (1.135)
где Bz—постоянная. Для этого случая уравнения ?1.128) принимают вид
да3 да2 л дсц да3 да2 dat Полагая, как и раньше, o| = 0, получаем из (1.134)1
X
A=rj j Bzdx=\xBz. (1.137)
Здесь постоянная интегрирования положена равной нулю. Легко заметить, что полученное выражение для А удовлетворяет (1.127).
Для доказательства того, что условие U1=0 не является слишком'жестким, наложим условие а3 —0. 1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 63
Тогда из (1.136) получим
jSl=0- е-««)
Мы ВИДИМ, ЧТО Cli и 02 не зависят от г, т. е.
= #)> = (1.139)
Последнее из условий (1.138) будет выполнено, если положить
X
az = p j B2dx = pxBz, (1.140)
у
Oi = (P-I) j = (P-I)yBz, (1.141)
где p — произвольная постоянная. Тогда
А = і (р — 1) t/?2 4- jpJc?z- (1.142)
_ *
Кроме того, нужно показать, что уравнения (1.127), (1.135) и (1.142) непротиворечивы. Сравнение (1.137) и (1.142) сразу же убеждает нас, что выбор А неоднозначен. Различие между уравнениями (1.137) и (1.142) и наличие параметра р в уравнении (1.142) можно учесть, если переписать его так:
А «у (Iif - j*) B2+ (р-І-) (1 у+]х) Bz =
=-T^ f - M я*+(/> - у) b^ (1 • 143>
где*
ф ху. (1.144) Первый член в А соответствует обычной форме
A—J-(Bxr) (1.145)
для постоянного В.
Во многих случаях магнитный векторный потенциал получают исходя из распределения тока, вызванного магнитным полем В. Это достигается решением векторного уравнения Пуассона (см. упр. 1 к разд. 1.14). *
