Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
VX V-VxVx A = VV-A-V2A. (1.181) С учетом (1.168) первый член
VV-A= j C(F2)-V1Vi ^7L) ^t2. (1.182)
Заменяя вновь вторые производные ПО Xii Уи Zi вторыми производными по X2f Уь Z2i проинтегрируем по частям каждую компоненту уравнения (1,182):
VV.A]x=Jc(r2). V2^J7L) <іт2 =
- S v^cWifelb-S ^wfe fe)
(1.183)
Второй интеграл исчезает, поскольку с соленоидален, а первый на основании теоремы Гаусса можно преобразовать в поверхностный интеграл. Если с ограничен в пространстве или при больших г стремится к нулю быстрее, чем Mri 72
ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
то интеграл (1Л 68) существует, и тогда при выборе достаточно удаленной поверхности первый интеграл в правой части уравнения (1.183) тоже окажется равным нулю.
При условии V-A = O уравнение (1.181) сводится к (1.171), в котором скаляр s (V2) заменен на вектор с (г2):
VxV=-VA=-^r j с(r2)VJ(-i-Jdr. (1.184)
Определяя по-прежнему б-функцию как некоторый закон интегрирования, можно видеть, что (1.184) сводится ко второму условию (1.158). Таким образом, запись V в виде (1.166) и векторного потенциала А в виде (1.168) удовлетворяет второму условию (1.158), определяющему ротор V.
На этом завершается доказательство теоремы Гельмгольца, утверждающей, что вектор может быть разложен на безвихревую и соленоидальную части. В применений к электромагнитному полю это означает, что вектор поля V можно составить из двух компонент: безвихревого вектора электрического поля Е, определенного скалярным потенциалом ф, и соленоидального магнитного поля В, которое задается векторным потенциалом А. Плотность источника s (г) можно рассматривать как плотность электрического заряда (Деленную на диэлектрическую постоянную є), а плотность циркуляции с (г) как плотность электрического тока (умйоэкен* ную на магнитную постоянную ц).
_ *
T Упражнения
1. Полагая, что P(I1i)- ~ [ ^ ^ ^t2 решение векторного урдв-
4зт J г42
V
нения Пуассона
V12P(F1)--V(F1), доказать теорему Гельмгольца (1.166), в которой
A = VxP, cp = V-P.
2. Убедиться, что данное решение P (гі) при подстановке* в <р и А приводит к выражениям, которые даны для этих величин в разд. 1.15. ГЛАВА 2
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
В гл. 1 мы почти целиком ограничились декартовой системой координат, в которой предполагалось, что единичные векторы i, j и к постоянны. Мы ввели радиус-вектор г, но и его тоже считали функцией у и г. Однако не все физические задачи успешно решаются в декартовой системе. Например, для центральных сил F = r0F (г) (таких, как гравитационные или электростатические) декартовы координаты могут оказаться крайне неудобными, поэтому пользуются такой системой, в которой одной из координат служит расстояние в радиальном направлении.
Систему координат следует выбирать из условия наилучшего соответствия поставленной задаче, используя различные условия и симметрию, характерные для рассматриваемой проблемы. Правильный выбор системы координат позволяет быстрее получить решение. Очень часто слово «быстрее» означает, что дифференциальное уравнение в частных производных в новой системе можно свести к дифференциальным уравнениям первого порядка «стандартного» вида методом разделения переменных (см. разд. 2.5).
Рассмотрим сначала координаты, в которых уравнение
+ = 0 (2.1)
допускает разделение переменных. Уравнение (2.1) имеет гораздо более общий смысл, чем это может показаться с первого взгляда. Например, при ?2 — 0 оно представляет собой уравнение Лапласа, при к2 — (+) const — уравнение Гельмгольца, - при k2 = (—) const — уравнение диффузии (пространственная часть) и при № = const X кинетическая энергия — волновое уравнение Шредингера.
Показано *, что существует одиннадцать координатных систем, в которых уравнение (2.1) допускает разделение
* E і S е n h а г t L. P. Phys. Rev., 45, 427 (1934). 74
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
переменных. Каждую из этих систем можно рассматривать как частный случай системы софокусных эллипсоидов. Кроме того, кратко рассмотрим еще три системы, которыми пользуются при решении уравнения Лапласа.
2.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Декартовы координаты образуются тремя семействами взаимно перпендикулярных плоскостей: х — const, у = = const и г ~ const. Представим себе, что мы наложили на эту систему три других семейства поверхностей. Поверхности любого из этих семейств не параллельны друг другу, и, кроме того, они не должны быть плоскостями. Все три новых семейства поверхностей не должны быть взаимно перпендикулярными, однако для простоты мы опустим это условие. Положение любой точки (х, у, г) можно задать пересечением трех плоскостей в декартовой системе или пересечением трех поверхностей, которые образуют новую систему криволинейных координат. Полагая поверхности криволинейных координат qt = const, q2 —[const и q3 — = const, мы тем самым фиксируем положение заданной точки координатами (qu q2, так же, как и координатами (а*, у, z). Это означает, что в принципе можно записать
x = x{qu Яг, Яз), У=* У fa, Яг, Яз), Z = z (qu q2, q3), (2.2)
