Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь линейный интеграл взят по контуру, лежащему на поверхности = const. Проходя последовательно вдоль участков 1, 2, <?, 4 границы (рис. 2.2), получаем
V (q±, q2, q3) ¦ dk = V2Ii2 dq2 +1V3A3 + -- (VsIi3) ^2] dq3 -- [V8A2 + ^ (V2A2) dq2 - V3h3 dq3 =
A K{hsVs) ~ І dq% dq8 * (2'20) 2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 79
На участках пути 1 и 2 выбран знак плюс, тогда как на участках 3 и 4 взят знак минус, поскольку во втором случае обход совершается в отрицательном направлении. Из (2.19) получаем
VxVI1
Остальные две компоненты VxV можно получить циклической перестановкой, индексов. Как уже отмечалось в гл. 1, часто удобно записывать ротор в виде определителя
V XV =
A1A2A3
SiiHi д
дЯі
HiVl
Sizh2 д
дЯ2
h2V2
Sish3 д
h3V3
(2.22)
На этом завершается определение операторов V, V-, Vx и лапласиана V2 в системе криволинейных координат.
Упражнения
?1. Пусть —единичный вектор в направлении возрастания ^1. Показать, что
_ 1 a (A2A3) _ 1 Г dhi dhi "1
'v^-SISa-V-' Vxa'=irLazW-43Wi-
?^2. Показать, что ортогональные единичные векторы at можно
1 дг п
определить как а* =-— • -5— . В частности, доказать, что условие
hi oqt
&і'&і = \ приводит к выражению для Аь которое согласуется с уравнением (2.6).
Учитывая определение а;, можно получить формулы d&i_ dhJ да.j ^ dhj - , .
dqj-** Hidqi ' dg Г ^ 4Hjdqj ' ' ^
зфі
3. Обосновать утверждение, что обычные скалярное и векторное произведения (не содержащие оператор V) в ортогональных криволинейных координатах раскрываются точно так же, как и в декартовых, и не содержат коэффициентов Ламе.
4. Используя векторное тождество V • VV = VV-V-VX X (V X V), получить в криволинейных координатах векторный лапласиан V-VV. 80
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
2.3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
ДЕКАРТОВЫ (ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ) КООРДИНАТЫ
Как уже отмечалось, выбор системы координат может зависеть от физической природы и симметрии решаемой проблемы. Полезно перечислить все 14 систем, классифицируя их в соответствии с тем, обладают ли они осью сдвига (перпендикулярной семейству параллельных плоскостей), или осью симметрии вращения.
В табл. 2.1 перечислено 15 систем координат, так как круговые цилиндрические координаты обладают и осью
Таблица 2.1
Ось сдвига Ось вращения Системы, не имеющие осей
Декартовы (3 оси) — Софокусного эллипсоида
Круговые цилиндрические Круговые цилиндрические —
— Сферические (3 оси) —
Эллиптические цилиндрические Вытянутого сфероида —
— Сплющенного сфероида —
Параболические цилиндрические Параболические
Биполярные Тороидальные —
— Бисферические Конические
Координаты софокусного параболоида
сдвига, и осью вращения, а потому приведены дважды. Расположены системы в таблице так, чтобы показать связь между различными координатами. В результате вращения двумерной (г = 0) системы с осью сдвига (левая колонка) вокруг оси симметрии получим систему координат, приведенную в центральной колонке таблицы. Например, вращая плоскость (z = 0) эллиптической цилиндрической системы координат вокруг большой (малой) оси, получаем систему 2.4. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
81
вытянутого (сплющенного) сфероида. В третьей колонке включены три системы координат, у которых нет ни осей сдвига, ни осей вращения. Заметим, что в этой асимметричной группе приведена система софокусных эллипсоидов, которая в некотором смысле является наиболее общей, и почти все остальные системы * можно получить из нее.
Декартовы координаты. В декартовой системе координат (гл. 1), простейшей из всех систем,
hi = hx= 1, h2 = hy = 1, h3 = hz = 1. (2.23)
Семейства координатных поверхностей представляют собой три набора параллельных плоскостей: х = const, у = const и г = const. Декартова система — единственная, в которой все коэффициенты Ламе ht постоянны. Это обстоятельство будет особенно важным при рассмотрении тензоров в гл. 3. Подчеркнем, что направление единичных векторов аь а2, а3 или і, j, к фиксировано.
Исходя из уравнений (2.13), (2.17), (2.18) и (2.22) можно получить результаты, рассмотренные в гл. 1:
i-^L + k .?.
дх * ду ' дг
dV* + dIx 4 ayZ
V^ = I
VV
V-Vif =
дх д2г|)
W
дг •
VxV =
ду* і І k
JL JL А.
дх ду дг
Vx Fy V2
дг'2
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
2.4. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ г, O1 <?
Обозначая qu q2, q3 буквами г, 6, ф, можно указать основные семейства поверхностей сферической системы координат.
1. Концентрические сферы с общим центром в начале координат: г = (х2 + у2 + z2)1/2 = const.
* За исключением биполярной и ее двух вращательных разновидностей — тороидальной и бисферической. 82
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
2. Концентрические поверхности прямых круговых конусов с полярной осью г и вершинами в начале координат:
Z
0 = arc cos
const.
+0а+z2J1/2
3. Полуплоскости, проходящие через ось z: <р = = arctg (у/х) = const.
В силу произвольного выбора полярного угла 6 и азимутального угла ф все привязки производят относительно
