Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
где X, у и z заданы через новые координаты q. Возможна и обратная зависимость:
qi = Я\ (*, У, z), q2 = q2 (х, у, г), qz = qd (х, у, г). (2.3)
Каждому семейству поверхностей qt — const можно поставить в соответствие единичный вектор Aii нормальный к поверхности qt = const и направленный в сторону возрастания qi.
Квадрат расстояния между двумя точками вычисляется по формуле
ds* - dx2 + dy2 + dz* = 2 hh dqt dqj. (2.4)
ij
Коэффициенты fuj называют коэффициентами Ламе; их можно рассматривать как некие параметры, характеризующие^ заданную систему координат qu q2t q3. Совокупность коэф-' фициентов Ламе определяет метрику системы координат. Ii. кМійолйнейнЬіе коо^дкйАТЫ 75
Чтобы определить hij, продифференцируем уравнения (2.2)
д X дх дх
аналогичные соотношения получаются для dy и dz. Возводя (2.5) в квадратен подставляя затем в (2.4), получаем
иг __ дх дх I ду ду , дг дг {Г>
^-Wi'Wj^Wi'Wr mSqi4W3 * ( }
Ограничимся ортогональными системами координат (взаид: но перпендикулярные поверхности); математически это означает, что
Hij = О, і ф /. (2.7)
Чтобы упростить обозначения, положим Hii = Hit тогда
ds* = (Hidqi)2 + (A2^2)2 + (hz(kfz)\ (2.8)
В последующих разделах каждая система координат будет определяться заданием коэффициентов Ламе Jil, H2 и H3. И наоборот, для любого заданного dgif полагая остальные q постоянными, эти величины удобно определять с помощью соотношения
dSi = Hidqi. (2.9)
Подчеркнем, что криволинейные координаты qit q2 и q} безразмерны. Коэффициенты Ламе Hi могут зависеть от q .и могут иметь размерность. Произведение Hidqi может иметь размерность длины.
Из соотношения (2.9) немедленно получаются элементы поверхности и объема
doij = dsidsj — HiHjdqidq^ (2.10)
d% ~ dsids2ds3 = HiH2Hzdqidqidqz- (2.11)
Выражения (2.10) и (2.11) полностью согласуются с законом преобразования (2.2).
Упражнения
1. Показать, что требованию ортогональности системы координат соответствует условие (2.7).
2. Показать, что якобиан J [¦¦*' ^ Z )=11^2^ и, следова-
Wi> Яь <7з/
тельно, элемент объема J [ У'- | dqtdqodq-i в согласии с (2.11)
wii <72, qz) 41 41 46 к j
равен HiH2H3 dqі dq2dq3. 76
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В основу рассмотрения операторов градиента, дивергенции и ротора в криволинейных координатах мы положим определение градиента некоторой функции как вектора, имеющего абсолютную величину и направление максимальной скорости изменения этой функции в пространстве
as3=/}3 dq3
dsz=hz d(f%
ds^hfdfy
Рис. 2.1. Криволинейный элемент объема.
(см. разд. 1.6). Тогда компонента fa, q2, qa) в направлении, нормальном к семейству поверхностей qi — const, задается в виде *
Vibl - d^ - ** v 11 ~~ 0Si ~ Hidqi '
(2.12)
поскольку она характеризует скорость изменения -ф при изменении qi (q2 и q3 фиксированы). Величина dst — приращение длины в направлении увеличения ^1. В разд. 2.1 был введен единичный вектор aj для указания этого направления. Для,переменных qt и q3 получим выражение (2.12); векторно сложив их, представим градиент в виде
ds2
HiOqi
4
4" а«> u + аз ^
h2dq2 h3dq3 *
(2.13)
* Здесь мы не используем символ ф для обозначения функции, поскольку под ф в дальнейшем будем понимать азимутальную координату. , 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 77
Оператор дивергенции можно получить, используя уравнение (1.91) или, что эквивалентно, теорему Гаусса. Для определенности будем исходить из уравнения (1.91)
f \-da
V-Vfo1, Iim jT^ (2-14)
J dx-, О і dx
где в качестве элемента объема взято произведение Hihzhdqidq2Clqz. Положительные направления выбраны так, что qi, q2, q3 или аь а2) а3 образуют правую систему (рис. 2.1).
Как и в разд. 1.7 и 1.10 *, интегрирование по двум поверхностям qi = const дает:
\VihJiz + (W3) dq^ dq2 dq3— — ViH2H3 dq2dq3 = -^-(Vih2H3) dqtdq2dq3. (2.15)
Добавляя аналогичные результаты для двух других пар поверхностей, получаем
[ Vfo1, qz, qii-da =
= ["^T + -?- (V^A) +щ; (УAfI2)] dqt dq2 dq3
(2.16)
или, после деления на элементарный объем,
Ў • V <?„ </2, д3) = J^rXwi +
(W1) (W2)], (2.17)
где Vi-проекция V на направление аь т. е. Vi^at-V. Комбинируя уравнения (2.13) и (2.17), а также учитывая, что V = Vty (qu q2, получаем лапласиан
_Г д / дф \ . a /AaAt д /AiAaftm
М2Й3 L dqi \ A1 Bqi ) dq2 V A2 ) dq3 \ A3 dq3) J '
_______(2.18а)
* Поскольку рассматривается предел dqt dq2 dq3 0, производные выше второго порядка можно опустить. 78
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
Наконец, с помощью теоремы Стокса (см. разд. 1.12) выпишем В ЯВНОМ виде Vr X V и перейдем к пределу, устремив к нулю площадь поверхности. Рассмотрим дифференциальный элемент поверхности на криволинейной поверхности
Рис. 2.2. Криволинейный элемент поверхности {на рис. 2.1 этот элемент отмечен цифрами U 2, 3, 4),
= const. Из
j Vx V.^=VxVI1A2A3dq2dqz, (2.186) s
согласно теореме Стокса,
VxV I1Zi2A3 dqt dqz= ^V •d%. (2.19)
