Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
j Vda= f VVdx. (1.102)
S V
Аналогично, считая, что V —а х P (а —постоянный вектор), легко доказать
daX P = ^VxPdx. (1.103)
Упражнения
1. Доказать теорему Гаусса в форме (1.103).
2. Доказать, что I dc=Qi если S—замкнутая поверхность.
s 52
Г JI А Б А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
3. Показать, что ^ г-eta — V (V—объем, ограниченный замк-
S
ну той поверхностью S).
4. Показать, что для любой замкнутой поверхности S ^ B-dff = О,
S
если B-VxA.
1.12. ТЕОРЕМА CTOKCA
Теорема Гаусса связывает объемный интеграл от дивергенции некоторой функции с интегралом по замкнутой поверхности, ограничивающей объем, от той же функции.
Ч
X
Рис. 1.20.
Пересечение поверхности S с плоскостью X ~ с.
Здесь рассмотрим аналогичное соотношение между поверхностным интегралом от дивергенции некоторой функции и линейным интегралом от той же функции, причем линейное интегрирование ведется по периметру заданной поверхности. С этой целью преобразуем поверхностный интеграл от ротора, применив для этой цели к подынтегральной функции формулу смешанного произведения
S S
da у — do z +
dz
S
OV7
ду
+ <1Л04)
dz 1.12. ТЕОРЕМА CTOKCA
53
Поверхностный интеграл берется по некоторой заданной поверхности. Ориентируем оси декартовой системы координат так, чтобы поверхность пересекала плоскость х — с по линии AB (рис. 1.20). Граница поверхности совпадает с линией, лежащей в плоскости х = с, положительное направление на этой линии соответствует направлению от А
Z
Рис. 1.21. Проекции da на плоскости ху и хг.
к В, направление da указано на рис. 1.20. В частности, как показано на рис. 1.21,
doy = dxdy, doz=r—dxdy. (1.105)
Приращение dx соответствует поверхности, заключенной между плоскостями X = C и $ = c + dx. Интегрируя производные от Vx по указанному приращению поверхности, получаем
S S
Поскольку X остается постоянным при интегрировании от А до В
^dy + %2-dz = dVXt (1-107) 54
ГЛАВА І. ВЕКІ0ї>НЬІЙ АНАЛИЗ
поверхностный интеграл преобразуется к виду з
J dx j dVx = j Vx (x, yB, zB) dx — j Vx (*, yA, zA) dx. A (1.107a)
Указанный выбор направления при обходе границы области означает, что dx = dkx — в направлении к точке В и dx = —dkx — в направлении к Ai где d'k — вектор приращения длины вдоль периметра. Наконец, полагая, что х при своем изменении охватывает всю заданную поверхность, получаем
j (-?-day-doz)=§Vxd%x. (1.108)
s
Символом ^ обозначено интегрирование по замкнутому
пути, в данном случае по периметру заданной поверхности. Далее, циклической перестановкой координат (или совершенно аналогично рассматривая производные от Vyt плоскость у — с и т. д.) для производных от Vy и Vz получаются такие же выражения, поэтому окончательно
j V X V. da = ф (Vх dkx + Vu d%y + Vz) dkz = § V. dl.
(1J09)
Это и есть теорема Стокса.
С помощью теоремы Стокса можно установить дополнительные соотношения между поверхностными и линейными интегралами:
1
j dax Vcj = (1.110)
S
(dax V)xP = ^dXxP. (1.111)
В справедливости (1.110) легко убедиться подстановкой в (1.109) V = а<р, где а — вектор, постоянный по величине и направлению:
j(V xacp).d<r= — jaxV<p.da= — a- j Vyxda. (1.112)
s 1.12. ТЕОРЕМА СТОКСА
55
Для линейного интеграла
= (1.113)
поэтому
^•(^Ф^+ j ТфХ dor)=0. (1.114)
8
Поскольку направление а произвольно, выражение в круглых скобках равно нулю. Таким образом, соотношение
(1.110) доказано. Аналогично доказывается соотношение
(1.111), в котором нужно положить V = а X Р; вектор а имеет тот же смысл, что и выше.
Вернемся к уравнению (1.109), в котором член V-dk
можно рассматривать как поток жидкости, циркулирующей по замкнутому контуру. Если в качестве поверхности выбран круг площадью kdo, то | у X V | do равно циркуляции BeKTOpaV вдоль замкнутого контура площадью do в плоскости ху. Это позволяет измерить ротор вектора V вращением небольшого гребного винта. Если винт не вращается, циркуляция равна нулю, и, следовательно, на основании теоремы Стокса, вектор V — безвихревой.
Упражнения
1. Доказать теорему Стокса в форме (1.111).
2. Пусть t=— \y-\-\x. Используя теорему Стокса, показать, что интеграл вдоль непрерывной замкнутой кривой в плоскости ху равен
у t'al=—^ (xdy— у (Ix)=A1
где Л—площадь поверхности, ограниченной этой кривой.
3. Интегрированием по периметру поверхности, расположенной в плоскости ху, показать, что по абсолютной величине интеграл
г Xdr вдвое больше самой поверхности.
4. Показать, что ^ V XУ-da = 0, если S-замкнутая поверх-
S
ность.
5. Доказать соотношения
JjpuVvdX=-^ vVu-dX, <^>aVt>.<a= ! (Vu) X (Vo)-da. 56
/
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
6. Указать ошибку в следующих рассуждениях. Запишем уравнение Максвелла
V-B = O. (1)
Подставляя (I) в выражение (1.94), получаем
j V-Brfx= j Brf<y = 0. (2)
Соленоидальный вектор В можно выразить через ротор некоторого вектора (векторный потенциал)
B-Vx А- (3)
Подстановкой (3) в (2) получим
