Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
V-V1 = S, VxV1 = C, (1.1.58)
где S — плотность источника (заряд); с — плотность циркуляции (тока). Кроме того, задана нормальная компонента Vn на границе области. Докажем, что сделанные предположения однозначно определяют вектор V1. Пусть существует вектор V2, который удовлетворяет уравнению (1.158) и имеет ту же самур нормальную компоненту на границе. Покажем, что V1 — V2 = 0. Обозначим W = V1 — V2. Тогда
V-W = O, (1.159)
VxW = O. (1.160) 68
ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Можно положить (см. разд. 1.13)
W=-Vcp. (1.161)
Подставляя это в уравнение (1.159), получаем уравнение Лапласа
V-V9 = O. (1.162)
Теперь воспользуемся теоремой Грина (1.98), полагая и и v равными ф. Поскольку на границе
Wn = Vin-V2n==O, (1.163)
то теорема Грина сводится к
j (V<p).(Vcp) dx = \ W-Wdt = O. (1.164)
V V
Величина W-W = IF2 неотрицательна, откуда
W = V1-V2 = O (1.165)
всюду в заданной области. Следовательно, V1 единствен и теорема доказана.
Докажем теперь вторую теорему — теорему Гельмгольца. Вектор V, удовлетворяющий условиям (1.158), в которых с и S на бесконечности равны нулю, можно записать в виде суммы двух векторов, один из которых безвихревой, а другой соленоидальный. Попытаемся доказать, что данный вектор V можно записать в виде
V= —Тф-j-V X А, (1.166)
причем —V9— безвихревая часть, а V х А — соленоидаль-ная. В частности, ф, соответствующая скалярному потенциалу, записывается как
^)=-4^1-?1^ (Ь167>
а А. соответствующий векторному потенциалу, равен
а<г'>=4 JeS^ <1Л68>
Здесь T1 указывает координату точки поля (хи у^ Zi), а т2 — координату источника (x2i у2, Z2), тогда как
г12 = Kxl- X2Y + [у, -у2у + (Zi -Z2Y]1/2. (1.169) ). 15, ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА
69
Направления векторов T1, г2 и г12 = T1 — г2 показаны на рис. 1.25. В качестве положительного направления г12 взято направление из точки источника в точку наблюдения. Для существования интегралов необходимо, чтобы S и с на больших расстояниях достаточно быстро стремились к нулю.
Соотношением (1.166) V задан в виде суммы безвихревой и соленоидальной частей, причем скалярный и векторный потенциалы определены (1.167) и (1.168). Покажем,
Рис. 1.25. Координаты источника (х2, Уг, г2) и точки наблюдения (х4, yit Zi).
что V удовлетворяет также условиям (1.158), тогда на основании предыдущей теоремы V будет определен однозначно, и теорема Гельмгольца доказана.
Во-первых, поскольку дивергенция ротора равна нулю, дивергенция V определяется первым членом в правой части уравнения (1.166):
V.V^ -V-V9= -™v.v J s^dx2. (1.170)
Оператор Лапласа V.-V, или V2, действует на координаты (Ar1, ylt Zi), поэтому его можно ввести под знак интеграла, так как интегрирование ведется по переменным (X1, г/2» 2^) •
v-v=-iHs(r2)V°(iW <іл7і>
На основании закона Гаусса (см. разд. 1.14) 70
ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Тот или иной результат зависит от того, охватывает ли замкнутая поверхность интегрирования начало координат г = 0. Этот результат удобно выразить с помощью 6-функции Дирака 6 (г):
V2 (1) = _4яб(г). (1.173)
Дельта-функция Дирака определена следующим образом :
6(/-) = 0 при г^О, (1.174а)
Jf(r)A(r)dT = f(0), ' ' (1.1746)
где f (г) — любая, всюду определенная функция, а объем интегрирования включает начало координат. В частном случае уравнение (1.174 6) сводится к
j 6(r)dT = К (1.175)
Величина б (г) не является функцией в общепринятом смысле, так как она не определена (бесконечна) в точке г ~ 0. По этой причине со стороны математиков иногда наблюдалось пренебрежительное отношение к этой функции. Со временем ее стали трактовать как условную запись предела. Мы будем пользоваться этой функцией в смысле определения (1.174). Несколько подробнее свойства 6-функции обсуждаются в разд. 8.6.
Прежде чем продолжить обсуждение, рассмотрим две модификации уравнения (1.173). Во-первых, пусть заданный источник расположен в точке г2, которая не совпадает с началом координат. Отсюда следует, что множитель 4п в законе Гаусса появляется в том и только в том случае, если поверхность охватывает точку г = г2. Чтобы убедиться в этом, перепишем уравнение (1.173):
V2 Ш=~4яб(гі-г2)- (1Л76)
Перенос источника в точку г2 изменит условия (1.174)
O (T1-T2) = 0, T1^r2, (1.177а)
j f (T1) Ь (Ti-T2) dr^f (т2). (1.1776)
5о-вторых, двойное дифференцирование г"1 по переменным Уг, Z2 равносильно двойному дифференцированию ). 15, ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА
71
по переменным 1Jf1, у±і Zi:
Й)=Ш ^ ~4зтб (гі -г*) = - 4^ te- rO-
(1.178)
Нужно заметить, что из определения o-функции следует
A(ri—r,) = o(ra—ГО.* (1.179)
Подставляя (1.176) в уравнение (1.171) и проводя интегрирование с помощью б-функции (1.178), получаем
= J * ^ (~ 4jt> 6 (1*2 - fi>dr2 = S (U80>
Последнее равенство следует из (1.1776), в котором поменяли местами индексы 1 и 2. Выражение (1.180) показывает, что принятая форма записи вектора V и скалярного потенциала <р находится в согласии с первым условием (1.158).
Для полного доказательства теоремы Гельмгольца необходимо показать, что сделанные предположения согласуются и со вторым условием (1.158). На основании уравнения (1.166)
