Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
винеровского, пуассоновского и общего процессов с независимыми
приращениями. Для случая стохастического дифференциального уравнения с
винеровским процессом дается общая формула приведения любого уравнения к
уравнению Ито. Рассмотрены особенности численного интегрирования
стохастических дифференциальных уравнений.
В главе 4 изучаются стационарные случайные функции. Рассматриваются
различные виды стационарности, изучаются особенности ковариационных
функций стационарных случайных функций. случайные функции, приводимые к
стационарным, излагается
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
15
спектральная теория стационарных случайных функций и теория
преобразования их стационарными линейными системами.
В главе 5 даны общая теория стохастических дифференциальных систем и ее
применение к линейным системам. В начале главы изложены методы приведения
уравнений системы к стохастическим дифференциальным уравнениям.
Рассмотрены два метода: метод непосредственной замены линейно входящего в
уравнение широкополосного случайного . процесса белым шумом, имеющий
ограниченное применение, и более общий метод формирующих фильтров.
Подробно изложены методы нахождения формирующих фильтров для стационарных
процессов и процессов, приводимых к стационарным. Для линейных систем,
описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с любым
процессом с некоррелированными приращениями, выведены обыкновенные
дифференциальные уравнения для моментов первого и второго порядков. Эти
уравнения позволяют проводить статистические исследования линейных систем
в рамках корреляционной теории без излишних допущений о стохастических
диффенциаль-ных уравнениях. Вся остальная часть главы посвящена системам,
описываемым стохастическими дифференциальными уравнениями с процессами с
независимыми приращениями. Для таких систем выведены уравнения,
определяющие конечномерные распределения вектора состояния. Для частного
случая линейных систем получены точное решение этих уравнений и явные
формулы для конечномерных характеристических функций вектора состояния.
В главе 6 изложены методы исследования нелинейных стохастических
дифференциальных систем. Сначала рассматривается случай систем без шумов
со случайными начальными условиями, в котором уравнения для конечномерных
распределений могут быть решены точно. Затем изучаются методы
исследования нелинейных стохастических дифференциальных систем,
основанные на приближенном решении уравнений для конечномерных
распределений вектора состояния системы. После вывода вспомогательных
формул для производных по времени моментов первого и второго порядков
вектора состояния нелинейной стохастической дифференциальной системы
рассматривается исторически первый приближенный метод решения уравнений
для конечномерных распределений-метод нормальной аппроксимации
распределений [55]. Устанавливается связь этого метода с методом
статистической линеаризации. Далее изложены современные приближенные
методы решения уравнений для конечномерных распределений, практически
позволяющие получить решение с любой степенью точности: метод моментов,
метод семиинвариантов, моментно-семиинвариантный метод и методы,
основанные на ортогональных разложениях распределений, в частности метод
квазимоментов.
16
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Глава 7 посвящена теории оптимального оценивания состояния и параметров
стохастических дифференциальных систем по результатам наблюдения (теория
оптимальной фильтрации).
После постановки задач оценивания и экстраполяции выведены общая формула
для оптимальной оценки вектора состояния, уравнения, определяющие
одномерное апостериорное распределение вектора состояния системы, и
формулы для стохастических дифференциалов апостериорных средних и
моментов второго порядка, а также формулы для стохастических
дифференциалов апостериорных вероятностей в задаче распознавания. Затем
излагается точная теория оптимальной линейной фильтрации. В этом случае
уравнения оптимальной фильтрации допускают точное решение. После
изложения теории фильтров Калмана - Бьюси подробно изучается случай
автокоррелированной помехи в наблюдениях, которая может быть представлена
как результат преобразования белого шума линейным формирующим фильтром.
Дается точное решение задачи оптимальной экстраполяции вектора состояния
линейной системы. Затем рассматривается случай, когда уравнения системы и
наблюдения линейны только относительно вектора состояния и нелинейны
относительно наблюдаемого процесса. Глава заканчивается решением задачи
распознавания сигналов в линейных системах.
В главе 8 изложены приближенные методы теории оптимальной нелинейной
фильтрации (методы субоптимальной фильтрации). Рассмотрены две группы
методов субоптимальной нелинейной фильтрации. К первой группе относятся
методы, основанные на приближенном решении уравнений оптимальной
нелинейной фильтрации: метод нормальной аппроксимации апостериорного
распределения, метод моментов, метод семиинвариантов и методы, основанные
