Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
?(+)(г, 0 = е*-Е(+>(г, (),
Ga) (rt,r't') = S-p[QE(~){r, t)Em(г', t')], (4'21)
то выражение (4.20) можно переписать следующим образом:
wa) (t) = sGiV (rt, rt). (4.22)
Таким образом, мы доказали справедливость сделанного ранее предположения о том, что идеальный счетчик фотонов можно построить так, что он будет реагировать на поле в данный момент времени. Скорость счета такого прибора пропорциональна корреляционной функции первого порядка, заданной в одной точке в один момент времени.
При выводе приведенных выше результатов мы воспользовались приближением электрического дипольного взаимодействия. Использование этого приближения было обусловлено скорее соображениями удобства, чем необходимостью. Мы могли бы использовать также общую связь между импульсами атомных электронов и векторным потенциалом. В этом случае нам пришлось бы вводить функции корреляции для векторного потенциала, а не для электрического поля. Единственное различие в расчетах заключалось бы в учете конечных размеров атома. Вместо матричных элементов, имеющих вид постоянных множителей в вероятностях переходов, пришлось бы интегрировать произведения атомных волновых функций и функций корреляции. Другими словами, вероятности переходов были бы интегралами, которые включали в себя функции корреляции для конечных пространственных и временных интервалов. К счастью, такие усложнения не обязательны для количественных оценок на оптических и более низких частотах.
Лекция 5
Детектор фотонов, состоящий из п атомов
Чувствительный элемент счетчика фотонов, который мы рассматривали до сих пор, состоял из одного-единственного атома. Поскольку такую конструкцию счетчика вряд ли возможно осуществить на практике, нам необходимо обобщить полученные результаты на случай сколь угодно большого/числа атомов.
Мы осуществим это в два этапа. В настоящей лекции мы рассмотрим детекторы, состоящие из относительно небольшого числа атомов, и покажем, как эти результаты можно использовать для исследования корреляционных свойств более высоких порядков. Более детальный анализ экспериментов по счету фотонов мы отложим до последней лекции, так как сначала полезно обсудить когерентные свойства полей.
Как мы уже видели, измерения с помощью одноатомных детекторов фотонов приводят к функции корреляции первого порядка ;G(1>. Однако существуют и более общие корреляционные свойства полей; некоторые из них связаны, например, с экспериментами, в которых регистрируются совпадения процессов поглощения фотонов в различных точках пространства и времени. Такой эксперимент выполнили, например, Хэнбери Браун и Твисс; мы обсудим его несколько подробнее в последующих лекциях.
Предположим, что п идентичных атомов расположены в разных точках поля г1; г2, . . ., гп и образуют чувствительный элемент некоторого фотонного счетчика. Перед всеми атомами имеются затворы, открывающиеся на время от t0 до t. Нас интересует вероятность того, что в течение этого интервала времени каждый из атомов поглотит фотон. Хотя эта задача носит несколько искусственный характер, ее решение существенно для более общей задачи, которую мы рассмотрим позднее.
Для расчета вероятности поглощения п фотонов нужно воспользоваться, строго говоря, п-м порядком теории возмущений. При этом можно, конечно, сделать большое число упрощений. Чтобы решить уравнение Шредингера в представлении взаимодействия
(5.1)
мы ввели выше унитарный оператор изменения во времени, который преобразует состояния по схеме
11) = U (t, t0) 110}.
Формальное решение для U (t, t0) можно записать в виде
t
-i/ft j сWjtt’) dt'
U(t,t0) = {e }+, (5.2a)
oo t t 71
u ('. *«) = 2 if (fir У &) ¦¦¦<№! (M}+ Г1 dtv.
n=0 fo <o P=1
(5.26)
где символ { }+ означает операцию упорядочения по времени над всеми операторами внутри этих скобок, после которой произведение операторов записывалось так, чтобы их временные аргументы увеличивались слева направо. Представления (5.2а) и (5.26) можно, по-видимому, довольно легко получить, записывая уравнение Шредингера (5.1) в интегральной форме и решая полученное интегральное уравнение с помощью степенных рядов.
Гамильтониан взаимодействия &?i (t) для п атомов, взаимодействующих с полем, имеет вид
Mi(t)= 2 (5.3)
7=1
где представляет взаимодействие с полем /-го атома. Каждый
из этих членов имеет вид
S6i, j (t) — — eSq^v (0-E(M)» (5-4)
