Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
... E(+) (x2n)]. (6.1)
Усреднение, проведенное нами для вычисления этого выражения, является квантовомеханическим аналогом классической методики, введенной в лекции 1. Там мы говорили об усреднении по совокупности случайных коэффициентов Фурье. Сходство между этими двумя методами будет становиться более наглядным по мере того, как мы будем продолжать наше рассмотрение.
В качестве первого свойства корреляционных функций отметим, что при ограниченном сверху числе фотонов функция G(n) = 0 для всех порядков, более высоких, чем фиксированный порядок М. Это свойство проявляется более отчетливо, если | п> есть «-квантовое состояние, а оператор плотности записывается в виде
р= 2 спп1\п)(т\. (6.2)
7П, П
Тогда если спт — 0, то для п>М или т>М из свойств операторов уничтожения фотонов ?(+) следует, что
?(+) (xi) ... ?(+) (хр) q = 0 при р> М. (6.3)
Сопряженное соотношение
pE^ixi) ... (jcp) = 0 (6.4)
также выполняется для р>М. Отсюда следует, что
G(v) == 0 при р'р>М. (6.5)
Это свойство корреляционных функций довольно странное точки зрения классической теории. В ней корреляционные функции
представляют собой по существу суммы моментов распределения вероятности для коэффициентов Фурье, и довольно трудно пред-
ставить себе случай, когда моменты выше определенного порядка тождественно равны нулю. Введя в рассмотрение верхнюю границу для числа имеющихся фотонов, мы создали состояния, которые не имеют классического аналога. Этому не следует удивляться, так как в предельном случае % 0 эти состояния таковы, что их
полная энергия стремится к нулю.
Следующее свойство корреляционных функций можно вывести из общего соотношения
Sp (Л+) = (Sp Л)*, (6.6)
которое выполняется для всех линейных операторов А. Применяя это тождество к корреляционной функции (6.1), находим
[G(n) to... х2п)]* = Sp [?(-) (х2п) ... Е<-> (xn+i) ?(+) (хп) ...
• • • Ei+) (Xi) е+] = Sp [qE{(х2п) ... ?<"> (xn+l) Е(+) (хп) ...
... ?<+)(*i)] = G(n)(*2n (6.7)
Здесь мы воспользовались эрмитовостью оператора Q и инвариантностью шпура от произведения операторов относительно циклической перестановки.
Коммутационные свойства ?<+) и Ем позволяют произвольно переставлять аргументы (х^ . . . хп) и (x„+i . . . х2п), не изменяя значения функции G(n> (х4 . . . хп, xn+i . . . х2п)- Нельзя, однако, менять местами какой-либо из первых п аргументов с любым из п оставшихся без добавления соответствующих членов, так как соответствующие операторы не коммутируют.
Интересные неравенства можно получить из соотношения
Sp[e^]>0, (6.8)
которое выполняется для любого линейного оператора Л, поскольку заключенный в скобки оператор является положительно определенным. Чтобы доказать неравенство (6.8), заметим, что оператор q эрмитов и поэтому его можно диагонализировать; в некотором представлении он имеет вид
(k ! Q | т) = bhmph. (6.9)
Из определения оператора плотности непосредственно следует, что ph = (k\p\k) = {{k\i) (i | &>}Cp = {| (i | k) |2}Cp > 0. (6.10) Кроме того, так как
Sp 6 = 2 Pk = 1.
не все pk равны нулю. Пользуясь условием полноты, получаем
Sp [qA* А] = 2 Ph (k | A* A \k) =
к
= 2 Ph 2 (k I m) <m \A \ k) = 2 Ph 2 \(m \ A \ k) i2 > 0.
h m h m
(6.П)
Это значение шпура не зависит, конечно, от конкретного вида используемого представления, следовательно, неравенство (6.8) доказано.
Из общего неравенства (6.8) с помощью различных подстановок можно получить еще ряд свойств корреляционной функции. Например, выбирая А = Е(+> (х), сразу же получаем
вщ(х,х)>0. (6.12)
Аналогично подстановка Л = ?'(+)(х1) ... Е(+) (хп) дает
G(n) (xj ... хп, хп ... Xj) >0. (6.13)
Эти два соотношения также явно следуют из физического смысла «диагонального» вида G(n). Такой вид G(n) следует интерпретировать соответственно как интенсивности фотонов и скорости совпадений, которые являются существенно положительными.
Эти и все последующие результаты можно непосредственно обобщить на случай векторных полей (х). Нужно только связать векторный индекс ^ с соответствующей координатой xj и рассматривать xj как сокращенную запись совокупности переменных {О» th Н-Л вместо совокупности {гj, tjj.
Другое возможное представление оператора А имеет вид
