Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
В действительности мы почти никогда не знаем состояния | i) достаточно точно. Источники излучения являются обычно сложными
системами со многими степенями свободы, так что состояние | i) зависит, как правило, от многих неконтролируемых параметров. Так как точное состояние поля не известно, то необходимо прибегнуть к его статистическому описанию, которое дает нам сведения
о поле путем усреднения по неизвестным параметрам. Предсказания, получаемые при таком подходе, необходимо сравнивать с экспериментальными значениями средних по ансамблю. Таким образом, для получения скорости счета как среднего по ансамблю необходимо провести в равенстве (3.5) усреднение по всем случайным переменным, входящим в состояние | i),
w = {(i [ ?(-> (г, 0 ?(+) (г, t) 1 г)}сР. по (3.6)
Вводя оператор плотности q = {j г) (г ]}ср. По г, можно записать это среднее следующим образом:
re> = Sp{e?<_)(r, t)Ei+)(r, 0}- (3.7)
Оператор плотности представляет собой среднее из операторов проекций по начальным состояниям поля. Очевидно, что он эрмитов, е+ = 6. и> кроме того, положительно определен
</1 е I /> > 0
для любого состояния I/'). Стоит подчеркнуть, что в соотношении (3.7) подразумевается двойное усреднение. То обстоятельство, что мы должны усреднить измерения, сделанные с чистым состоянием, является требованием, присущим именно квантовой механике; оно не имеет классической аналогии. В отличие от этого среднее по ансамблю начальных состояний аналогично усреднению по совокупности случайных коэффициентов {Cftj классической теории.
Из выражения (3.7) видно, что скорость счета идеального счетчика фотонов можно записать с помощью квантовомеханической функции корреляции
G(i) (х, х') = Sp [е?(_) (х) ?(+) (*')], х = {т, t), (3.8)
которая аналогична функции корреляции, введенной при описании классических интерференционных экспериментов. Для описания более сложных опытов, например эксперимента Хэнбери Брауна -и Твисса, полезно определить более общий набор корреляционных функций
G(n) (хи . .хп, хп+1.. .x2n) = Sp [qE(-) (*!). . .
... (хп) ?(+) (xn+l).. .?(+) (a*,)]. (3.9)
Функцию Glm будем называть функцией корреляции п-го порядка. Аналитические свойства этого набора функций и их связь с экспериментальными измерениями будут обсуждены позднее.
Для такого определения можно, конечно, выбрать и более широкий класс функций, чем G<n), обратившись к средним значениям типа Sp [q?(_)?(+)?<+)?<+) ], содержащим неодинаковое количество операторов рождения и уничтожения. Однако мы не будем давать таким средним какое-либо специальное обозначение, так как они не соответствуют величинам, измеряемым в обычных опытах по счету фотонов. В принципе такого рода средние значения могут измеряться в экспериментах другого рода, однако они всегда равны нулю в стационарных состояниях поля, а также и в значительно более общем случае, когда фазы полей случайны. Последняя ситуация довольно характерна для оптических и других чрезвычайно высокочастотных полей.
Лекция 4 Одноатомный детектор фотонов
Рассмотрим процесс фоторегистрации несколько более подробно. Будем предполагать, что наш счетчик фотонов представляет собой идеализированный прибор, имеющий в качестве чувствительного элемента один атом, который может менять состояние при поглощении фотонов, как это имеет место при фотоэффекте. Предположим, что атом экранирован от поля, так что мы можем с помощью некоторого рода затвора включать счетчик в момент времени t0 и снова закрывать в момент времени t. Наша задача — рассчитать вероятность того, что поглощение фотона произойдет именно в течение этого интервала.
Будем предполагать также, что детектор достаточно удален от источника излучения, так что поле можно считать свободным. Гамильтониан системы поле — детектор можно записать в виде
Ш = <2^0+ Ши Шо= Шо, ат + <$?0, F>
где Шо — сумма гамильтонианов свободного поля и атома. В представлении Шредингера гамильтониан взаимодействия не зависит от времени, в представлении же взаимодействия — зависит. В дипольном приближении (являющимся весьма точным для оптических частот) можно представить зависящий от времени гамильтониан взаимодействия в виде
= ецпяе&ец^-апт = — е 2 Qv (0 • Е (г, t), (4.1)
7
где г — радиус-вектор атомных ядер, a qv —оператор положения у-го электрона относительно ядер; оператор напряженности поля Е (г, t) описывает зависимость от времени свободного поля, не возмущенного присутствием атома.
Уравнение Шредингера для системы поле —атом в представлении взаимодействия имеет вид
= (4-2)
Его общее решение можно записать в виде
| t) = U(t, t0) 110),
где U (t, t0) есть унитарный оператор изменения во времени, описывающий путь, по которому происходит изменение начального состояния под действием возмущения. В первом порядке теории возмущений решение имеет хорошо знакомый вид
