Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
\А= 2 IjE(+)(xj), (6.14)
i=i
где — набор произвольных комплексных чисел. Для этого случая неравенство (6.8) дает
2 ^ (xt, xj)^ 0. (6.15)
ij
Таким образом, совокупность корреляционных функций G(1> (х,, х}) образует матрицу коэффициентов положительно определенной квадратичной формы. Разумеется, такая матрица имеет положительный детерминант
det [G(1) (xt, xj)] > 0. (6.16)
При тг=1 это просто соотношение (6.2), при п = 2
G(1) (Xi, Xl) G(1) (x2, x2) > | G(1) (xu x2) |2, (6.17)
что является простым обобщением неравенства Шварца. Продолжая подобным образом, можно получить бесконечную последовательность неравенств. Приведем лишь одно неравенство для корреляционных функций более высокого порядка. Так как форма
А = ^Е(+) (Xl) .. . Е(+) (хп) + к2Е(+) (хп+1) ... Е(+) (х2п) (6.18) является положительно определенной, то
О (Xj . . . ХПч Хп . . . Х\) G (%п+1 • * • %2т %2п * * • ^n+l) ^
> | G(n) (Xi ... хп, xn+i ... х2п) |2. (6.19)
2. Пространственная и временная зависимости корреляционных функций
Поскольку операторы ?(±> (г, t) подчиняются уравнениям Максвелла и удовлетворяют обычным граничным условиям для вектора электрического поля (например, периодическим граничным условиям или условиям на проводящих стенках), то функции (Xi. . . х2п) также удовлетворяют системе из 2п волновых уравнений и 2п граничным условиям.
Рассмотрим теперь функцию б(п) для стационарных полей. Лучшим критерием стационарности в квантовой механике является требование того, чтобы оператор плотности е коммутировал с гамильтонианом. Это эквивалентно утверждению, что оператор е не зависит от времени в представлении Шредингера (в представлении Гейзенберга оператор плотности для изолированной системы всегда не зависит от времени). Если воспользоваться этим'определе-нием и интерпретировать гамильтониан как оператор сдвига во времени, то
Sp [е?(-) (*,) • • • Е(+) (х2п)] = Sp [eiS&x/AQE(~} (х^ ...
...Ei+)(x 2n)e~i**vn} =
— Sp [ei^!x/nQe~i,^x/nei^x/nE(~) (xi) ..
... ei&ex/nE(Jr) (x2n) e~i&exin\ =
= Sp [q?(_) (r4, ti + t) ... ?(+) (r2ni hn + t)],
где т—произвольный отрезок времени. Таким образом показано, что для стационарных полей корреляционные функции удовлетворяют тождеству
G(n)(rlf t\ ... Г2т ^2п ) — G^ ^ (rj, ti + т ... r2nt2n -4- т), (6.20)
т. е. они не изменяются при одновременном смещении во времени всех аргументов. В результате можно считать, что G<n) зависит
только от (2п—1) временных переменных. Те же самые соображения справедливы и для пространственных смещений. Если оператор плотности коммутирует с компонентами импульса поля, то корреляционные функции инвариантны относительно смещения пространственных координат в соответствующих направлениях.
Следующим математическим свойством корреляционных функций является последовательность способов, которыми они образуются из компонент поля с положительными и отрицательными частотами. Согласно нашему условию, функция G(n> (tt ... t„ tn+i • • • hn) такова, что содержит только положительные частоты
для переменных tn+ 1 ... t2n и только отрицательные — для ... tn\ например, можно написать (пространственную зависимость не учитываем)
G{i){t, t')= 2 ckh.e^k'te-^\
kk'
(6.21)
4>h и Wft- > 0.
Если теперь рассматривать Gll) (t, t’) как функцию двух комплексных переменных t и f, то ясно, что она является аналитической функцией
V в полуплоскости lmf<0 и аналитической функцией t в полуплоскости Im t > 0. Следовательно, можно воспользоваться теоремой Коши из теории функций комплексного переменного и записать тождество
(6.22)
С
где С — контур в комплексной плоскости t", показанный на фиг. 7.
Из ограниченности коэффициентов ckk> в (6.21) следует, что часть контура в виде полуокружности в нижней полуплоскости с оо не дает вклада в интеграл..Заметим далее, что вклад бесконечно малого полукруга в верхней полуплоскости равен вычету в полюсе, умноженному на (—л?). Таким образом,
ОО
G(1) (t, t’) = ±P J dt", (6.23)
где интегрирование выполнено вдоль действительной оси, а Р—символ окружности главного значения интеграла. Беря действительную
и мнимую части равенства (6.23), получаем два соотношения
оо
Im G(1) (t, П = -^Р \ Л', (6.24)
