Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
— оо
оо
ReG(1)ft f) = —Lp J lmGt^(tt;n dt". (6.25)
— CO
Эти соотношения позволяют в принципе найти мнимую часть корреляционной функции, если известна действительная ее часть, и наоборот.
Трансформационные соотношения Гильберта подобного типа привлекали к себе большое внимание в физике и электротехнике в связи с анализом причинности поведения линейных систем. Однако соотношения (6.24) и (6.25) не имеют с ними ничего общего. Эти соотношения есть просто способ определения этих функций.
Лекция 7
1. Дифракция и интерференция
С математической точки зрения квантовомеханическое рассмотрение задач дифракции не слишком сильно отличается от классического, так как операторы поля должны удовлетворять тем же самым линейным дифференциальным уравнениям и граничным условиям, что и классические поля. Задача построения таких операторов сводится к нахождению подходящей системы собственных функций, по которым можно их разложить (т. е. системы функций, удовлетворяющей волновому уравнению вместе с соответствующими граничными условиями на любой данной поверхности). Для нахождения собственной функции мы, естественно, прибегаем к известным методам классической теории решения граничных задач, т. е. эта задача вообще не является квантоводинамической. С другой стороны, тот факт, что такое решение представляет собой хорошо исследованную «классическую» задачу, не означает, как известно, что она обязательно будет простой.
Вернемся, например, к опыту Юнга (фиг. 2). Когда мы говорили, что поле на экране 22 есть просто линейная комбинация полей от двух отверстий Pj и Р2, определенная в соответствующие моменты времени, то это не значит, что мы точно решили дифракционную задачу, наоборот, мы сделали в этом случае ряд упрощающих физических приближений. Одно из них заключалось, например, в том, что не учитывался дисперсионный характер прохождения света через отверстия (этот эффект может быть довольно мал, если полоса частот падающего излучения не слишком широка). Приближения, подобные этому, носят классический характер. Мы делаем их просто потому, что нас не интересует более точное решение классической дифракционной проблемы.
Рассмотрим теперь опыт Юнга целиком квантовомеханически. Так же как и в классической теории, часть оператора поля на экране
2 2 с положительной частотой ?<+> (г, t) будет определяться линейной комбинацией полей ?<+) от двух отверстий, имеющей вид (2.1). Единственное различие заключается в том, что теперь поля ?(+) являются операторами. Предположим, что оба отверстия малы по сравнению с расстояниями между ними и равны по величине; тогда в соотношении (2.1) можно положить A,j = Я,2 = Я. Если наблю-
дения интерференционной картины на экране производятся с помощью идеального детектора фотонов, то скорость счета его будет пропорциональна G(1) (rt, rt). Другими словами, наблюдаемая интенсивность будет пропорциональна
/ = Sp Ге?(-) (rt)E^ (г*)] =
= Sp {QIX j2[?<-> (Xi) + ?<-> (лс2)] [?(+) (Xl) + ?<+> (*2)]}, (7.1)
где xj обозначает совокупность (г,-, tj). Эту интенсивность можно выразить через корреляционные функции первого порядка, разлагая произведение в (7.1); в результате находим
/ = | А, |2 [G(1) (хи a^ + G^ (х2, х2) + 2Re G(1) (хи х2)]. (7.2)
Первые два члена в правой части соответствуют интенсивностям, которые создаются каждым из отверстий в отсутствие другого. Согласно сделанным предположениям, эти члены представляют собой довольно медленно меняющиеся функции хл и х2. Как мы уже отмечали при классическом рассмотрении, третий член (7.2) является интерференционным. Корреляционная функция при Xi ф х2 есть в общем случае комплексная величина; если записать ее как
G(1) (хи х2) = | G(1) (xi, jc2) | е*ф <*!•*»), то выражение для интенсивности приобретает вид
/ = | К |2 [G(1) (хи х^ + G(1) (х2, х2) + 2 | G(1) (Xi, х2) | cos q> (дг±, х2)],
(7.3)
откуда видно, что причиной возникновения интерференционных колец является осциллирующий косинусоидальный член.
2. Некоторые общие замечания об интерференции
Проведенное рассмотрение опыта Юнга столь близко к классическому анализу, что может показаться неясным, почему явление интерференции представляет собой квантовомеханический эффект. Поэтому представляется целесообразным сделать некоторые общие замечания о квантовомеханической интерпретации интерференции. Характерные интерференционные явления имеют место в квантовой механике в тех случаях, когда амплитуда вероятности перехода из данного начального в данное конечное состояние представляет собой сумму двух или более парциальных амплитуд, имеющих достаточно точно определенные фазовые состояния. Отдельные парциальные амплитуды обусловлены обычно различием путей, по которым система может перейти из своего начального состояния в конечное.
