Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
t
l/) = {1+i (4.3)
to
Предположим теперь, что исходное состояние системы есть
где | i) — некоторое известное состояние поля, a |g) — основное состояние атома. Нас интересует вероятность того, что система
к моменту времени t перейдет в точно определенное состояние
\af) = \a) If).
где j а) — возбужденное состояние атома, а |/) —конечное состояние поля. Эта вероятность определяется квадратом абсолютного значения матричного элемента
¦- t
(af | U (t, t0) 1 gi) = -)r J (afl> (f) | gi) dt'. (4.4)
to
[Член нулевого порядка от U (t, t0) в выражении (4.3) не дает вклада из-за ортогональности электронных состояний | а) и |g).] Подставляя сюда оператор взаимодействия (4.1), можно разделить матричный элемент на две части: матричный элемент для атома и матричный элемент для поля
t
(af! U (t, to) | gi) = \ 2 \ 1 4v (O \g)(f\E (г, П | i) dt’. (4.5)
У to
Чтобы оценить атомный матричный элемент, вспомним, что qY (/') = (0) e~l/^ <^’°r = ат* qv (0) е~г/^^о, ат* ;
это справедливо в силу того, что гамильтониан поля d5#0, р коммутирует как с атомным гамильтонианом $во> ат> так и с координатой электрона qv(0). Атомный матричный элемент можно записать теперь в виде
<а|2ч7(П|?> = Мове1иа«",
У
где
Mag = (a|2qv(0)l^).
Y
Таким образом, матричный элемент Mag не зависит от времени и является просто коэффициентом в выражении для амплитуды вероятности перехода
t
(af | U (t, t0) | gi) = -J- jj ei?lW'Mag (/1 E (r, t’) | i) dt'. (4.6)
*0
Заменим E (r, t') в этом выражении на сумму двух операторов Е(+) (г, t) и ?<-) (г, t). Оператор рождения Е(_) (г, t) содержит только отрицательные частоты, т. е. зависимость его от времени выражается экспонентой еш для со > 0. Интегралы по времени от членов с такой временной зависимостью быстро осциллируют при изменении t и весьма малы по амплитуде по сравнению с членами, получающимися за счет оператора уничтожения ?(+) (г, t). Фактически будут иметь место лишь те переходы, для которых выполняется закон сохранения энергии. Чтобы убедиться в том, что при атомных переходах энергия квантов поля сохраняется с точностью до АЕ = fiAco, необходимо оставить наш затвор открытым в течение времени t — t0 > 1/Лсо. Практически затвор всегда открыт в течение многих периодов колебаний (Aw <С coag) и, следовательно, вклад радиационного члена f4-1 (г, t) пренебрежимо мал. (Так же как и в предыдущей лекции предполагается, что детектор находится при относительно низкой температуре.)
Теперь мы должны просуммировать квадраты модулей амплитуды (4.6) по всем конечным состояниям |/) поля, так как не производится никаких наблюдений для определения этих состояний. Одно из преимуществ использования выражения (4.6) для амплитуды заключается в том, что при суммировании по конечным состояниям можно суммировать по всем состояниям полной системы. Те конечные состояния, в которые физически поле перейти не может, присутствуют в сумме, но не вносят вклада из-за равенства нулю либо самих матричных элементов соответствующих этим состояниям, либо интегралов по времени от них. Таким образом, ограничение, накладываемое законом сохранения энергии, учитывается самой структурой временной зависимости интегралов, входящих в сумму квадратов амплитуд:
2 I (af I Ч (1, t0)\gi) |2 = t
=ay s idr df,eiaag(t”~n 2 *м°8, v х
to to Ц, V
X(i\EF(r,t’)Ey(r,t")\i), (4.7)
которая получена при использовании соотношения </|Е‘+>|/>* = </|Е‘->|/>
и условия полноты
2l/x/| = i.
Мы уже обсуждали необходимость усреднения таких выражений, как (4.7), по ансамблю начальных состояний | г), поскольку на практике начальное состояние редко бывает известно точно. Таким образом, вероятность перехода равна
Дг->о(0 = {2 \(af\U{t, t0)\gi> i2}cp noi =
= (t)22 \ { dt'dfeV-^x
Ц, V <0 to I
X Mtg: ^Mag, v Sp (e?<:> (г, о Bf (r, t")} =
t t
= (f)2S I S dt' dfeia«eit''-t')MZg,llMae,vG${rt’, vt"). (4.8)
H, v t0 't0
Определения оператора плотности q и функции корреляции первого порядка G(1) были даны в предыдущей лекции.
При выводе соотношения (4.8) мы предполагали, что атом совершает переход в точно определенное состояние | а). Счетчики фотонов
подобного типа были недавно предложены Бломбергеном и Вебером (фиг. 5). Поле с частотой со переводит атом на уровень а, а поле накачки с частотой сор переводит его на уровень Ъ. Излучение фотона с суммарной частотой cos = со + сор означает поглощение фотона из внешнего поля со.
