Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
v
который мы уже обсуждали. Для простоты предположим, что атомы динамически на зависят друг от друга, т. е. их гамильтонианы нулевого порядка разделяются и коммутируют друг с другом.
В наинизшем порядке теории возмущений процесс п-кратного поглощения описывается членом Uin) (t, t0), т. е. членом ti-то порядка в разложении (5.26). Подставляя гамильтониан в виде (5.3) в (5.26), получаем для Uln) (t, t0) выражение, содержащее пп членов, которые представляют собой все возможные способы, которыми п атомов могут принять участие в процессе ti-то порядка. Многие из этих членов являются, одцако, лишними, так как мы требуем, чтобы каждый атом участвовал в процессе один и только один раз. Члены, в которых гамильтониан для данного атома повторяется, описывают процессы, которые нас не интересуют. Вклад же в вероятность перехода дают члены, в которых $6и содержится лишь один раз.
Всего имеется п\ таких членов, и все они дают одинаковый вклад, так как скобка { }+ является симметричной функцией содержащихся в ней операторов. Поэтому член U{n) (t, t0) сводится к выражению
t t П
5 • • • 5 {ssi,!мsej,2(t2)... mi,n(tn)}+ n dtp. (5.5)
i0 to V=i
Так как ни один атом не может испустить фотон (каждый из них первоначально находится в основном состоянии), то вклад в амплитуду вероятности перехода будет давать лишь та часть оператора SfBi,}, которой соответствует поле с положительной частотой. Заменим оператор электрического поля в (5.4) на Е(+) (г/, t) и обозначим получившийся в результате гамильтониан через $??,). Операторы SSf^j коммутируют друг с другом, так как атомы динамически независимы, а поля Е<+) (гj, t) коммутируют. Поэтому мы можем опустить скобку { }+ в формуле (5.5) и записать интересующую нас часть U(n} (t, t0) как п-кратное произведение интегралов
П t
(-Т^)ПП (5.6)
3=1 / о’
В результате получаем, что оператор, соответствующий интересующим нас переходам, есть просто произведение операторов, каждый из которых описывает процесс поглощения одного фотона. Это не означает, однако, что матрица оператора перехода факторизована.
При оценке матричного элемента оператора перехода (5.6) между двумя состояниями всей системы мы должны отметить, что отдельные атомы, находящиеся первоначально в одном и том же основном состоянии, могут совершать переходы в конечные состояния, разные для разных атомов. Если обозначить эти начальные и конечные состояния атомов как | {g}} и | {а?}} и воспользоваться символами 11, {g}} и |f, {dj}) для начальных и конечных состояний всей системы, то матричный элемент оператора (5.6) [члены C/(n> (t, t0) ] принимает вид
</,К-}[(;<">(/, t0)\i,{g}) =
t t
= (тг)" \ \ еХР 0 2 Vajetj) <f \EW (Гп, tn)--.
to <o j
n n
...EW(ru ^)|/)П^П dtP’ (5-7)
3=1 p=i
где обозначения для атомных матричных элементов и частот аналогичны обозначениям предыдущей лекции, а тензорные индексы опущены в силу того, что поле имеет одну-единственную поляризацию [как в формуле (4.21)].
Теперь с амплитудой (5.7) необходимо проделать уже известные операции возведения в квадрат, суммирования по конечным и усреднения по начальным состояниям поля. В результате получим вероятность перехода каждого из атомов в точно определенное конечное состояние |о/). Так как каждое из этих конечных состояний является в общем случае частью континуума, то мы должны суммировать дол ученную вероятность по всем конечным атомным состояниям.
Предположим снова, что наш регистрирующий прибор (детектор) отмечает все эти конечные состояния с различной вероятностью и характеризуется определенной вероятностью R (о,-) регистрации данного процесса поглощения. Для простоты предположим, что эта вероятность регистрации представляет собой одну и ту же функцию для каждого из п атомов детектора. Суммирование по конечным состояниям п атомов можно произвести, вводя такую же функцию чувствительности, как и в соотношениях (4.10) и (4.12) предыдущей лекции. Проделав эти простые операции суммирования и усреднения, для вероятности регистрации получаем
t t П
Р(П) W = ] ¦ ¦ • ] П Sifi-t'i) G(n) Wl • • • rntn, г Jn . . .
to to j= 1
n
. ..г^хЦ dtjdfj. (5.8)
j= 1
В этом выражении G<n) означает функцию корреляции п-го порядка для поля, определяемую соотношением
(Xi ... х2п) = Sp [q?<-> {xi) ... (*„) ?<+> (jc„+1) ...
... ?<+>(jc2n)], Xj = {rj,t}.
