Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Базисные векторы одного неприводимого представления норми-
рованы одинаково. Как следует из (54.7а),
|УМ)=А(«). (54.8)
9. Прямые произведения базисных векторов двух представлений группы также образуют базис некоторого представления группы:
fa f(3
T(g)[vM-vW] = (54-9)
fl' = 1 v' = l
Оно называется прямым произведением представлений и и обозначается D^ х D^\
10. Прямое произведение двух неприводимых представлений группы является, вообще говоря, приводимым представлением и может быть разложено на неприводимые представления:
0
х = ^а(7)5^. (54.10)
7
Базисные векторы неприводимых представлений D^ имеют вид линейных комбинаций прямых произведений базисных векторов представлений
?>(«) ?>(/?);
|у(«) . Vwyp = Y^(ap, (54.10а)
Ц, V
Коэффициенты (a/i, f3v\^р), которые иногда называют обобщенными коэффициентами Клебша-Гордана, образуют унитарную матрицу. Из (16.54.10а) следует соотношение
У^а) • К(/3) = Hip) [^(a) • v^yp. (54.ii)
IP
Лекция 16
277
2. Теоретико-групповая классификация стационарных состояний квантовых систем
Пусть Т(д) — представление группы преобразований симметрии гамильтониана системы Н. Это означает, что для всех д («на всей группе») выполняется соотношение (53.11):
Т (д)НТ-\д) = Н, (54.12)
[Т(д),Н]= 0. (54.13)
Пусть далее {ф^}^=1 — совокупность линейно независимых ре-шений стационарного уравнения Шредингера, соответствующих уровню Еп\
Нф^=Епф^\ м = 1, 2, (54.14)
fn — кратность вырождения уровня. Подействуем на обе части соотношения (54.14) оператором Т(д). С учетом (54.13) получаем
Н{Т{д)ф^} = Еп{Т(д)ф(">}. (54.15)
Последнее соотношение показывает, что совокупность волновых функций каждого уровня системы образует инвариантное подпространство по отношению ко всей группе преобразований симметрии гамильтониана:
ФР = Т= ? пЦшУ- (54.16)
fl'=1
Это подпространство, а также соответствующие ему матрицы представления (д) либо неприводимы, либо их можно разложить на неприводимые части. Таким образом, совокупность квантовых чисел {п}, нумерующих уровень Еп, есть совокупность индексов, характеризующих неприводимые представления соответствующей группы. Кратность этих неприводимых представлений определяет кратность вырождения соответствующих уровней системы.
Мы видим, что при «симметрийном» подходе к классификации уровней квантовых систем «динамическая» задача о нахождении всех решений стационарного уравнения Шредингера заменяется задачей о нахождении всех неприводимых представлений группы симметрии гамильтониана, которая является стандартной задачей абстрактной теории групп.
278
Раздел 4
3. Расщепление вырожденных уровней под влиянием возмущения
Пусть — волновые функции невозмущенной систе-
мы гамильтонианом Но, соответствующие вырожденному уровню еп:
Н0^=еп^; (54.17)
fn — кратность вырождения уровня. Выше мы показали, что эти функции образуют базис неприводимого представления D группы преобразований симметрии гамильтониана Но; назовем эту группу G. В § 49 было показано, что если система подвергается возмущению V, то расщепление уровня еп в низшем порядке по V можно найти из решения секулярного уравнения (49.40):
Det - АЕп -6^ = 0. (54.18)
Каждый корень этого уравнения АЕп^ \ дает поправку первого порядка к энергии еп невозмущенной системы:
еп —» Еп^ л = ?п + АЯП? д. (54.19)
Если уравнение (54.18) имеет кратные корни, то некоторые из подуровней Еп? \ уровня гп оказываются вырожденными.
Теория групп позволяет установить характер расщепления уровней под влиянием возмущения, не только не решая секулярного уравнения, но и не вычисляя матричных элементов возмущения, т. е. не обращаясь к конкретному виду базисных функций и оператора возмущения V. Оказывается, все дело в соотношении свойств симметрии возмущения V и невозмущенного гамильтониана Но. Здесь имеют место два случая.
В первом случае симметрия возмущения выше (или по крайней мере не ниже), чем симметрия гамильтониана Но. Тогда симметрия возмущенного гамильтониана Н = Но + V определяется по-прежнему группой G. Следовательно, классификация уровней возмущенной системы остается такой же, как и в невозмущенной системе. Возмущение приводит лишь к сдвигу каждого уровня еп, но он не расщепляется, кратность его вырождения остается преж-ней. ^
В другом случае симметрия возмущения V беднее, чем симметрия гамильтониана Но; следовательно, и симметрия возмущенного гамильтониана Н беднее, чем симметрия Но. Пусть она
Лекция 16
279
характеризуется группой G, являющейся подгруппой группы G. В этом случае представление D^n\ являющееся неприводимым по отношению ко всем элементам группы G, оказывается, вообще говоря, приводимым по отношению к элементам, образующим ее подгруппу G:
ф ^(А)
D{n\i1) = Y,aXD (v), (54.20)
Л(А) А
здесь D (rj) — неприводимые представления группы G. Иными
словами, пространство базисных векторов разбивается
на инвариантные по отношению к преобразованиям подгруппы G подпространства, суммарная размерность которых равна Д. Каж-
Х(А)
дому неприводимому представлению D подгруппы G соответствует согласно (54.15) свое собственное значение Еп^\ гамильтониана Н с кратностью вырождения Д. Число таких неприводимых представлений в разложении (54.20) дает число подуровней Еп^\, на которые расщепляется уровень еп под влиянием возмущения.
