Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Dm'm(a’ А 7) = (jm'\e z\jm) =
= eim''t (jm'\e^Jy\jm)eima, (55.6)
(55.7)
зависящие лишь от одного параметра — угла /3; углы а и 7 входят
Лекция 17
283
и е°
Л$т>, /3- 7) = егт'М{?,т(Р)егта. (55.8)
Вычислим матрицы для случая j = i. Для этого вос-
пользуемся соотношением (упр. 10.7)
^ (3 . [3
еп — у . COs — + • sin —, (55.9)
где 5^ — матрица Паули. Итак,
/з . /Г
^ , ч I COS — sin — ,
d(1/2)(/?)= I 2 2 (55Л0)
— sin — cos — '
Явный вид матриц d ^ для i приведен в Дополнении 12.
С помощью матриц конечных поворотов можно рассмотреть любые ситуации в опыте Штерна-Герлаха с частицами произвольного спина. Действительно, пусть осью квантования при описании входного пучка является некоторая ось z\ а осью прибора — ось г, составляющая с осью z' угол (3. Соответствующим выбором направления осей х и у всегда можно совместить z и z' поворотом системы координат на угол (3 вокруг оси у. Поэтому, используя (55.2) и (55.8), мы получаем простую связь между базисными векторами спинового состояния частицы в системе с осью z (назовем их |sm)) и в системе с осью zr (назовем их \srfi):
s
|Щ= d$m(0)\sm'). (55.11)
m' = — s
Отсюда видно, например, что если спиновое состояние входного пучка является чистым и все частицы имеют определенную проекцию спина т на некоторую ось z', то относительные интенсивности пучков на выходе из прибора определяются выражением
W{rn') = \d^,mm2, m' = s, (55.12)
где [3 — угол между осью zf и осью прибора г. Если спиновое состояние входного пучка является смешанным и описывается
284
Раздел 4
спиновой матрицей плотности, то для перевода спиновой матрицы плотности из одной системы в другую удобно воспользоваться соотношением
(sm'\srn) = d$m((3), (55.13)
которое есть просто иной способ записи соотношения (55.11).
§56. Теорема Вигнера-Эккарта
Теорема Вигнера-Эккарта представляет собой общую основу получения правил отбора по квантовым числам момента количества движения и его проекций для всевозможных операторов. С математической точки зрения она является частным случаем соотношения (54.24) применительно к группе трехмерных вращении R3.
Согласно общему определению (54.21) неприводимым тензорным оператором группы R3 («неприводимым тензором») является совокупность (2fc + l) линейных операторов {Трк^}, преобразующихся при повороте системы координат так же, как векторы состояний с определенным моментом и его проекцией:
^(*0 к ^
тр = Е (56.1)
q= — k
здесь D^k\a, (3, 7) — матрицы конечных поворотов; число к называется рангом неприводимого тензора.
При к = 0 неприводимый тензор имеет единственную ком-
/9(0)
поненту 10 , которая не изменяется при повороте системы координат. Это либо скаляр, либо псевдоскаляр в зависимости от того,
сохраняет или меняет 10V ' знак при инверсии системы координат.
При к = 1 неприводимый тензор содержит три компоненты Т0(1^, которые преобразуются при поворотах системы координат так же, как три сферические функции Yim(0, ср), образующие базис неприводимого представления Три декартовы компоненты любого вектора или псевдовектора а = (aXl ау, az) можно свести к трем компонентам неприводимого тензора 1 -го ранга:
(1) _ ах + гау (1) _ (1) _ ах - гау
1, - , i0 J-i- ^ • (56.2)
При к = 2 имеется уже пять независимых компонент и т. д.
Лекция 17
285
Пусть надо вычислить матричный элемент {jimi\T^ \j2rn2),
rri(k)
где lie — неприводимыи тензорный оператор относительно группы R3. Согласно (54.22) каждый вектор \j2m2) есть линейная комбинация векторов, представляющих состояния с определенными моментом количества движения и его проекцией (обозначим
их |(8) fa : jm)):
Tik)\j2m2 = ^2(kx, j2m2\jm)\f{'k) ®j2: jm), (56.3)
jm
где (fcx, — известные нам коэффициенты вектор-
ного сложения (коэффициенты Клебша-Гордана). Векторы \Т^ (g) j2 : jm) могут служить базисом (вообще говоря, ненормированным) неприводимого представления Они ортогональ-
ны векторам \j\m\) при j ф j\ и m Ф rri\. Если же j = ji, m = mi, то согласно (54.8) скалярное произведение этих векторов не зависит от га. Исходя из этого, определим приведенный
матричный элемент (ji \ \Т^ | |J2) оператора :
® j2: jm) = ^Щ^=^-8м8т1т (56.4)
V 2ji + 1
_ 1
(множитель (2^’iH-l) 2 введен ради технического удобства). Составляя скалярное произведение векторов |jirai) и Т^^гаг) и используя (56.4), получаем формулу, которая выражает теорему Вигнера - Эккарта:
(лш^Т^Ьзтз) = {-^f$p^(n\m\j2). (56.5)
л/2 31 + 1
Легко показать, используя свойство ортогональности коэффициентов Клебша-Гордана (41.19), что приведенный матричный элемент удовлетворяет соотношению
<ji||f(fe)|b2) = (2ji + l) 2 j2m2\jim1)(j1m1\f(k)\j2rn2).
>?77111712
(56.6)
Разберем смысл теоремы Вигнера-Эккарта. Соотношение
(56.5) показывает, что матричный элемент неприводимого тензорного оператора всегда разбивается на произведение двух множителей. Первый — коэффициент Клебша-Гордана; он включает
286
Раздел 4
в себя все квантовые числа матричного элемента и не зависит ни от каких других физических свойств ни рассматриваемой квантовой системы, ни оператора. Второй приведенный — матричный элемент оператора; он не зависит от магнитных квантовых чисел т\ и га2, а также индекса к, но зато несет всю информацию о специфике квантовой системы и оператора.
