Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
беднее, чем симметрия невозмущенного гамильтониана. При наложении магнитного поля сферическая симметрия исчезла, осталась лишь аксиальная симметрия: гамильтониан (53.36) инвариантен относительно любых поворотов вокруг оси, направленной по вектору Ж. Однако повороты вокруг одной и той же оси коммутируют между собой, поэтому вырождение уровней исчезло.
Продолжим рассмотрение выбранного примера. Пусть теперь на нашу систему наложено не магнитное, а постоянное однородное электрическое поле 8. Мы знаем из теории эффекта Штарка (§51), что и в этом случае вырождение уровней снимается. Однако оно снимается не полностью, как при наложении магнитного поля, а частично: остается вырождение уровней системы по знаку проекции момента на направление поля
В чем дело? Ведь и в случае магнитного поля, и в случае электрического поля возмущение меняет сферическую симметрию гамильтониана на аксиальную. Почему же характер расщепления уровней в этих двух случаях неодинаков?
Доказанная выше общая теорема подсказывает нам, что во втором случае возмущенный гамильтониан обладает помимо аксиальной симметрии еще какими-то свойствами симметрии, которые просто не видны с первого взгляда. Чтобы выявить их, сравним внимательнее операторы взаимодействия частицы с внешним полем в первом и во втором случаях (пусть при этом ось z направлена по вектору Ж или 8)\
Н = Т + У(г)-$1Ж
(53.36)
Eniijn) = Eni(-m).
(53.37)
АЯ,
магн
д1гЖ = (хру - урх)Ж, (53.38)
А Яэл = —ez8.
(53.39)
Лекция 16
271
Действительно, видно, что оператор АЯЭЛ инвариантен относительно отражений в любой плоскости, проходящей через ось симметрии (ось z), тогда как оператор АЯмаш таким свойством симметрии не обладает. Поскольку операции отражения в плоскости и поворот вокруг оси, лежащей в ней, не коммутируют между собой, вырождение уровней при наложении электрического поля снимается не полностью.
Рассмотренный пример дает ключ к объяснению явления «случайного» вырождения уровней, с которым мы встретились в §§35 и 36. Напомним, что в двух случаях сферически-симметричного поля — кулоновское поле и изотропный гармонический осциллятор — уровни частицы оказываются вырожденными не только по т («обязательное» вырождение), но и по орбитальному квантовому числу I. Сейчас становится понятным, что «случайное» вырождение также должно иметь своей причиной какую-то особую дополнительную симметрию гамильтониана, которая просто оказывается «скрытой», незаметной для первого взгляда. Действительно, сферическая симметрия (вместе с симметрией относительно инверсии системы координат) не исчерпывает всех свойств симметрии гамильтониана частицы в кулоновском поле и гамильтониана сферически-симметричного гармонического осциллятора. Указать эти дополнительные свойства симметрии и показать, что соответствующие операторы не коммутируют с операторами поворотов, не просто, поскольку в обоих случаях они связаны не с привычными геометрическими преобразованиями, а с более сложными преобразованиями динамических переменных системы.
Мы не будем разбирать этот вопрос до конца. Отметим лишь, что в случае кулоновского поля полная симметрия гамильтониана отчетливо видна в некотором абстрактном 4-мерном пространстве и что «случайное» вырождение уровней связано в этом случае с наличием специфического для кулоновского поля интеграла движения — вектора Рунге-Ленца (см. упр. 9.11); легко проверить (упр. 16.5), что соответствующий оператор не коммутирует с оператором орбитального момента частицы. Для демонстрации богатой симметрии гармонического осциллятора удобно выразить его гамильтониан через операторы рождения и уничтожения квантов колебаний (см. § 25):
(53.40)
Легко видеть, что гамильтониан (53.40) инвариантен относитель-
272
Раздел 4
но произвольного унитарного преобразования динамических переменных CLi
3
а* -> а' = 53игкак, (53.41)
fe=i
где
ии+ = I. (53.42)
Говорят, что «случайное» вырождение уровней сферического гармонического осциллятора отражает свойство унитарной симметрии его гамильтониана.
3. Симметрия и правила отбора
В предыдущих разделах не раз возникала следующая ситуация: рассматривая матричный элемент какой-то физической величины (a\F\(3), мы могли, не производя вычислений, точно сказать, что он равен нулю. Делалось это всякий раз путем выявления какого-либо качественного несоответствия между свойствами оператора F и квантовыми числами состояний |а) и |/3).
Вот простой пример: чему равен матричный элемент оператора х2 для состояний |ls) и |2р, га) атома водорода? Ответ: {ls\x2\2p, га) =0. Объяснение: четность состояния частицы с моментом I есть (—I)1; таким образом, состояния |ls) и \2р, га) имеют противоположную четность, однако оператор х2 четности не меняет, поэтому интеграл равен нулю. Другой пример: найти правило отбора по магнитному квантовому числу для матричных элементов (nilimi\z\n2l2m2). Ответ: mi=rri2. Объяснение: будем вычислять интеграл в сферических координатах; оператор z не содержит азимутального угла ср; интегрирование по ср вводится к перекрыванию собственных функций оператора Lz, Т. е. (Фт1|Фт2) = ^ГП\ГП2 •
