Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
?<-*>•
rrij г г
(52.11)
где (г2) — дисперсия координатного распределения г-го электрона на низшем энергетическом уровне атома (здесь мы воспользовались результатом упр. 11.18). Отсюда находим с точностью до членов Ж2:
F = F0 + ^f^- 5>г2). (52.12)
12 тс1 “
260
Раздел 3
Подставляя в (52.1), получаем
e2N
X =
§mcz
5>*2>- <52ЛЗ)
Отрицательный знак х говорит о том, что квадратичный по Ж член в гамильтониане ответствен за диамагнитные свойства вещества. При этом Ж не зависит от температуры.
2. Теория диэлектрической восприимчивости
Теперь обратимся к электрическим свойствам диэлектриков. Согласно электродинамике диэлектрическая восприимчивость (коэффициент поляризации) вещества определяется соотношением
*=~ш> (52Л4)
где F — свободная энергия единицы объема вещества в электрическом поле 8. Следовательно, мы опять можем воспользоваться формулой (52.4) для нахождения свободной энергии, если известна матрица оператора возмущения. Будем считать, что все энергетические уровни атома имеют определенную четность. Как было показано в §51, в этом случае все диагональные элементы матрицы оператора возмущения равны нулю, а поэтому диэлектрические свойства определяются недиагональными элементами. В этом случае (52.4) принимает вид
АТ л® - Л®
F = Fo-f Е <52Л5>
пгп ?п — еш
где
Vnm = -e8(n\z\m). (52.16)
Если температура такова, что заселено только основное (п = 0) состояние, то
Л0) = 8по (52.17)
и (52.15) сводится к
F = F0 + Ne2g2 53 K(^|m)(l'. (52.18)
тф0 ^0
Лекция 15
261
Подставляя это значение свободной энергии в (52.14), получаем
m/0 ^rn
Поскольку е$ > ?q°\ диэлектрическая восприимчивость всегда положительна. Как и диамагнитная восприимчивость, к не зависит от температуры.
Диэлектрическая восприимчивость вещества, отнесенная к одному атому (к —> x/N) называется поляризуемостью атома данного вещества.
Упражнения к лекции 15
15.1. Показать, что суммарный полный момент количества движения двух электронов в атоме гелия есть интеграл движения, а суммарный орбитальный момент и суммарный спин, вообще говоря, не сохраняются. Взаимодействие каждого электрона с ядром взять в виде
v(r) = + -??;(*Т),
Г fl с г*
а взаимодействие электронов друг с другом — в виде
V12{ru г2) = -—------
|Г1 - г2|
Движением ядра пренебречь.
15.2. Бесспиновая частица движется в кулоновском поле. Найти расщепление энергетического уровня с п = 2 при наложении слабых однородных взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей.
15.3. Найти расщепление энергетического уровня атома водорода с п = 3 при помещении его в однородное электрическое поле. Тонкой структурой спектра пренебречь.
15.4. Атом, находящийся внутри кристалла, испытывает действие аксиально-симметричного электрического поля вида AV = f {г)i^4 (cos 0). Как расщепится уровень атома с полным моментом J за счет этого взаимодействия? Показать, что центр тяжести новых уровней совпадает с положением невозмущенного уровня (центр тяжести системы уровней определяется как их
262
Раздел 3
средняя энергия, причем статистический вес каждого уровня равен кратности его вырождения).
15.5. Рассчитать расщепление уровней сверхтонкой структуры низшего состояния атома водорода (см. упр. 14.6) при помещении его в постоянное однородное магнитное поле Ж. При каком значении напряженности Ж это поле можно считать слабым (сильным)?
15.6. Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемого в центре атома водорода при движении электрона в состояниях 2р.
15.7. Найти электрический квадрупольный момент основного состояния ядра 1TF, считая, что (согласно одночастичной модели оболочек) оно представляет собой «инертный» неподвижный остов с нулевым спином, образованный ядром 16О, в поле которого движется протон в состоянии 1^5/2- Потенциал взаимодействия протона с остовом считать осцилляторным с параметром Нио = 16 МэВ. Найти также квадрупольный момент возбужденного СОСТОЯНИЯ 1^3/2-
15.8. Вычислить диамагнитную восприимчивость атома гелия, используя волновую функцию основного состояния, найденную в § 46.
15.9. Оценить поляризуемость атома водорода, учитывая только члены, отвечающие первому возбужденному уровню. Показать, что найденное значение является нижней оценкой поляризуемости. Как получить верхнюю оценку?
Раздел 4
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
ЛЕКЦИЯ 16 § 53. Понятие симметрии в квантовой механике
Понятие симметрии играет исключительно важную роль и в классической, и в квантовой физике. Как известно, в классической механике знание свойств симметрии функции Лагранжа или функции Гамильтона системы позволяет найти интегралы движения, не прибегая к решению уравнений движения. В квантовой механике мы имеем дело с оператором Гамильтона — гамильтонианом, и свойства симметрии гамильтониана проявляются в разнообразных физических свойствах системы. В предыдущих разделах мы уже не раз встречались с примерами такого проявления. Задача данного раздела — систематизировать этот материал, изложить основные вопросы теории симметрии в квантовой механике на единой математической основе, показать еще не встречавшиеся нам типы симметрии и их следствия.
