Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Мы снова видим, что при «симметрийном» подходе к задаче о расщеплении уровней процедура решения уравнения Шредингера заменяется некоторой стандартной процедурой теории групп, а именно процедурой (54.20) разложения неприводимого представления группы на неприводимые представления ее подгруппы. Такой подход, конечно, является более общим.
4. Теория групп и правила отбора
Применяя теорию групп к установлению правил отбора для квантово-механических матричных элементов, мы будем опираться на понятие неприводимого тензорного оператора. Совокупность Д операторов {F^ }{k называется неприводимым тензорным оператором по отношению к некоторой группе G, если она удовлетворяет следующему соотношению:
~ №
Fx =Y,d{X(9)F%\ (54.21)
ус'
т. е. если в результате преобразований, образующих группу G, компоненты тензора F^ преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям этой группы.
280
Раздел 4
Рассмотрим матричный элемент неприводимого тензорного оператора группы G в обкладках базисных векто-
ров двух произвольных неприводимых представлений D^
и этой группы: (ф^\F^\ф1^). Векторы |где
к = 1, 2, . .., Д, ^ = 1,2,..., fp, образуют базис представления х группы G, которое, вообще говоря, является приводимым. Согласно (54.11) их можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений на которые разбивается прямое произведение представ-
лений ?>(fc) х ?>W ; для этого надо воспользоваться коэффициентами Клебша-Гордана группы G:
I= I>", HlP){F{k4WVp. (54.22)
IP
Подставляя (54.22) в матричный элемент (ф^\F^ вое-
пользуемся свойством ортогональности базисных векторов разных неприводимых представлении группы (соотношение (54.7а)):
<^a)|{F(fc?^}~<WW (54.23)
В итоге получаем
(i’la)\FLk)\i>i0)) ~ (кХ, Н\ац). (54.24)
Соотношение (54.24) может служить универсальной основой для получения правил отбора в квантовой механике. Оно показывает, что необходимым условием существования ненулевого
матричного элемента {ф^ \F^ \ф1^) является требование, чтобы неприводимое представление содержалось в разложении прямого произведения неприводимых представлений И
1)(“)С#х#>. (54.25)
Практическое применение правила (54.25) к установлению правил отбора для произвольных операторов предполагает, что мы
умеем выразить любой оператор F через неприводимые тензора/е)
ные операторы F^ ' соответствующей группы. Мы познакомимся с этой процедурой в следующей лекции на примере группы трехмерных вращений.
Лекция 17
281
Упражнения к лекции 16
16.1. Указать все преобразования, образующие группу симметрии куба.
16.2. То же для тетраэдра.
16.3. Показать, что компоненты радиус-вектора хну образуют базис двумерного представления группы С4 (повороты вокруг оси z). Найти матрицы этого представления.
16.4. То же для группы С3.
16.5. Найти коммутационное соотношение для оператора вектора Рунге-Ленца (упр. 9.11) и оператора орбитального момента частицы в кулоновском поле.
ЛЕКЦИЯ 17 § 55. Группа трехмерных вращений и ее представления
Представление группы трехмерных вращений R3 (а также более широкой группы О3 = R3 х I) осуществляют операторы поворота (53.21):
R(п, а) = (55.1)
В качестве базиса неприводимого представления этой группы можно взять векторы состояний |jm), в которых определен полный момент системы и его проекция на ось г:
з
R(n, a)\jm) = C!l(n> ot)\jm!). (55.2)
m' =—j
Матрицы неприводимых представлений группы R3
а) = 0W|e^a(nJ)|jm) (55.3)
имеют размерность (2j + 1) х (2j + 1) и называются матрицами конечных поворотов. Они обладают свойством унитарности:
з
Е а) = <Wm2- (55.4)
m=—j
282
Раздел 4
Имеются подробные таблицы матриц конечных поворотов, дающие явные выражения их матричных элементов через параметры поворота. Однако в некоторых особых случаях не состав-
по формуле (55.3), без каких-либо таблиц.
Пусть, например, ось п направлена по оси г. Тогда матри-
т. е. имеет вид приводимой матрицы. Это есть пример того, как неприводимое представление некоторой группы (в данном случае группы Rs) оказывается приводимым по отношению к ее подгруппе (в данном случае — подгруппе R2 всевозможных поворотов вокруг оси z). В общем случае, когда а, п произвольны, матрица а) неприводима, а вычислить ее матричный элемент
гораздо сложнее, чем в рассмотренном выше примере.
Для вычисления матриц конечных поворотов в общем случае оказывается более удобным использовать вместо параметров поворота (п, а) другие эквивалентные параметры — три угла Эйлера а, /3, 7. Напомним, что оси исходной системы координат можно совместить с осями любой повернутой системы с помощью последовательности трех поворотов: на угол а (0 ^ а ^ 2тт) вокруг оси z исходной системы; на угол /3 (0 ^ /3 ^ тг) вокруг оси у новой системы; на угол 7 (0 ^ 7 ^ 27т) вокруг новой оси z. Соответствующие элементы матрицы конечного поворота вычисляются по формуле
т. е. могут быть легко выражены через более простые матрицы
ляет труда построить матрицы Dm\m2(ni а) и непосредственно
ца D^Jm (nz, а) диагональна:
/еч»
О \
)rnm' —
, (55.5)
О е у
