Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Из свойств коэффициентов Клебша-Гор дана следуют правила отбора для матричных элементов (56.5):
ji+j2 + k = 0, (56.7)
>c + m2 = m\. (56.8)
Это есть обобщение «правила треугольника» (41.23), в котором роль одного из моментов и его проекции играют ранг оператора к и нижний индекс неприводимого тензора к. Назовем соотношения (56.7), (56.8) «обобщенным правилом треугольника».
Рассмотрим примеры применения теоремы Вигнера -Эк-карта.
1. Начнем с чисто технического упражнения на установление правил отбора для некоторых простых операторов: пусть требуется найти правила отбора для матричных элементов (nlm\F\n'l'm') операторов F = х, у, z, z2 — г2/3, z2 между состояниями бесспиновой частицы в сферически-симметричной потенциальной яме.
Оператор х есть согласно (56.2) суперпозиция двух компонент неприводимого тензора 1-го ранга:
ж~Г1(1) (56.9)
Поэтому на основании «обобщенного правила треугольника»
(56.7), (56.8) получаем
1 + 1' + 1 = 0, т. е. I = V (кроме 1 = 1' = 0); I' ± 1; га = га/ ± 1.
Вместе с правилом отбора по четности (—1)1 = — (—1)1 окончательно имеем
Легко показать с помощью тех же соотношений (56.2), что таким же правилам отбора удовлетворяет матричный элемент оператора у и что оператору ? отвечают правила отбора
l = l'± 1; га = га/.
(56.11)
Лекция 17
287
Оператор F = z2 — \г2 пропорционален сферической функ-
0
ции Y20(в):
z2 ~ |r2 = |r2P2(cos0) ~ ?20(в),
т. е. представляет собой компоненту неприводимого тензора 2-го ранга:
*2- |г2 ~Т0(2). (56.12)
На основании «обобщенного правила треугольника» получаем
1 + 1' + 2 = 0, т. е. I = I' (кроме 1 = 1' = 0), l'± 1, l'±2; га = га/.
Вместе с правилом отбора по четности (—I)1 = (—1)1 окончательно имеем
I = I' (кроме 1 = 1' = 0), I' ± 2; т = гп . (56.13)
Итак, основная идея установления правил отбора заключается в том, чтобы разбить оператор на сумму неприводимых тензорных операторов. Применительно к оператору z2 это означает, что
z2 - (z2 - |r2) + |r2 ~ Tq2)Tq0). (56.14)
Правила отбора для такого оператора получаются наложением
(2)
правил отбора (56.13) для оператора T0V и правил отбора для скаляра :
1 = 1', т = га/. (56.15)
В итоге для оператора z2 имеем
1 = 1', I'±2; т = га/. (56.16)
2. В качестве второго примера рассмотрим вывод формулы (51.28), которую мы уже использовали в § 51:
{JM\AZ\JM) = (JM\AJ\JM). (56.17)
Пусть А — произвольный псевдовектор (если А — вектор, диагональный матричный элемент равен нулю в силу правила отбора
288
Раздел 4
по четности). Запишем оператор AJ в виде свертки двух тензоров 1-го ранга
AJ = Y, (56.18)
<7=0, ±1
где связь компонент и Jq с декартовыми компонентами операторов А и J дается формулами (56.2), и подставим (56.18) в правую часть соотношения (56.17):
(JM\AJ\JM) = ^ (-l)q^2(JM\A^\JM')(JM'\Lq\JM).
q=0, ±1 М'
(56.19)
Опираясь на теорему Вигнера-Эккарта (56.4), можем связать матричный элемент произвольного псевдовектора А с матричным элементом оператора момента:
UMIA^UM') = ijjvf), (56.20)
Подставляя (56.20) в (56.19), получаем
(JMIAJI JM) = {Jll^llJ>(jM|j2|jjVf) = j(-j + ^
(J||J||J) <J||J||J>
(56.21)
С другой стороны, применяя формулу (56.20) к левой части соотношения (56.17), имеем
(JM\AZ\JM) = ^^J\JM\JZ\JM) = ^4—М.
(J||J||J) (J||J||J)
(56.22)
Теперь, исключая отношение (J\\A\\J)/(J\\J\\J) из соотношений (56.21) и (56.22), получаем формулу (56.17).
3. В качестве третьего примера применения теоремы Вигнера-Эккарта рассмотрим вопрос о квадрупольном моменте системы заряженных частиц.
Из классической электростатики мы знаем, что взаимодействие системы заряженных частиц с постоянным неоднородным электрическим полем
Лекция 17
289
определяется не только вектором электрического дипольного момента d этой системы, но и тензором электрического квадруполь-ного момента
N
Qij = Е еп(МП)^П) ~ rlSij); (56.24)
71=1
здесь п — номер частицы в системе, а еп — ее заряд; г, j = х, у, z. В квантовой теории квадрупольный момент Qц становится
оператором: Qц —> Qij. Он не коммутирует с гамильтонианом системы, и поэтому имеет смысл говорить лишь о среднем значении квадрупольного момента в различных состояниях системы. Например,
Qi3\jm = (JM\Q13\JM). (56.25)
Из (56.24) видно, что тензор Q^ симметричен (Qij = Qji), а его
след равен нулю (^2 Qu = 0^. Таким образом, тензор электрического квадрупольного момента системы имеет в общем случае пять независимых компонент. Их можно выразить через пять компонент неприводимого тензорного оператора 2-го ранга
Qq = Е CnJ^r2nY2q(en, <рпу, q = 0, ±1, ±2 (56.26)
П
(будем называть его неприводимым тензорным оператором электрического квадрупольного момента). Например,
N
Qzz = Е еп^1 ~ г2п) = Qo (56.27)
71=1
(см. упр. 17.5).
Таким образом, среднее значение любой компоненты Qij тензора квадрупольного момента выражается через средние значения пяти операторов Qq. Из них в состоянии | JM) отлично от нуля лишь одно:
Qij\jM = {JM\Qq\JM). (56.28)
Поэтому для указания среднего значения электрического квадрупольного момента системы в состоянии с определенным полным
