Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
290
Раздел 4
моментом J достаточно одного числа. В качестве такового принято использовать среднее значение оператора Qo в состоянии с максимальным значением проекции полного момента системы:
Q = (J, М = J\Q0\J, М = J) =
N
= (J,M = J\J2 е«(3z2n - r2n)J, M = j) (56.29)
71=1
(вспомним аналогичное определение численного значения магнитного момента системы в § 42).
Применяя к (56.29) «обобщенное правило треугольника»
(56.7), получаем
J + J + 2 = 0. (56.30)
Если j < 1, это правило не может быть выполнено. Таким образом, квантовая система с полным моментом J меньше единицы не имеет квадрупольного момента. Этот результат имеет «симмет-рийное» происхождение и справедлив для любых систем — для атома, молекулы, атомного ядра, элементарной частицы.
Упражнения к лекции 17
17.1. Частица со спином ^ находится в состоянии, описываемом матрицей плотности р = (/ az/2)/2. Найти матрицу
плотности этого состояния в системе координат, повернутой относительно исходной на угол [3 вокруг оси у.
17.2. То же для состояния с матрицей плотности (45.10).
о
17.3. Пучок частиц со спином ^ и проекцией спина на им-
о ^
пульс, равной -, попадает в прибор Штерна-Герлаха, ось которого направлена под углом 60° к импульсу частиц. Определить относительные интенсивности выходящих из прибора пучков.
17.4. Частица со спином 5 = 1 находится в состоянии,
_ 1
описываемом волновой функцией х = 2 2(|1, 1) + |1, — 1)), где |ssz) — вектор состояния с определенным значением проекции спина частицы на ось г. Существует ли направление, проекция спина на которое в состоянии х имеет определенное значение?
Лекция 18
291
17.5. Получить соотношения, связывающие компоненты тензора электрического квадрупольного момента системы Qц с компонентами неприводимого тензорного оператора квадрупольного момента Qq.
17.6. Заряженная частица со спином s = ^ находится в
состоянии I6/5/2 в осцилляторном потенциале. Вычислить электрический квадрупольный момент Q этой системы. То же для состояния 1^з/2- Сравнить полученные значения с квадрупольным моментом аналогичной бесспиновой системы в состоянии Id.
17.7. Доказать, что в любом состоянии среднее значение любого псевдовекторного оператора совпадает по направлению со средним значением вектора полного момента системы.
17.8. Вычислить средние значения z2 и р2 в состоянии 2р1 /2, rrij = i атома водорода.
17.9. Найти правила отбора для матричных элементов оператора (56.26) между состояниям |nlm) бесспиновой частицы, движущейся в сферически-симметричной потенциальной яме.
17.10. То же для оператора электрического октупольного момента частицы:
д(октуполь) = er3y3<?(0) ^ q = ±1> ±2> ±3_
17.11. Вычислить все матричные элементы (1 р, т\ \pi \ Id, т2) оператора импульса частицы (г = х, у, z) между состояниями 1 р и Id сферически-симметричного гармонического осциллятора.
ЛЕКЦИЯ 18 § 57. Симметрия молекул и твердого тела
На практике симметрийный и динамический подходы к исследованию квантовых систем применяются в тесной связи между собой, дополняя и усиливая возможности друг друга. Часто оказывается, что и возможности симметрийного подхода, и даже сами свойства симметрии квантовых систем проявляются особенно отчетливо лишь после того, как при их описании сделаны какие-то упрощения, приближения, касающиеся динамики происходящих
292
Раздел 4
в них процессов. В данном параграфе мы познакомимся с таким взаимопроникновением симметрийного и динамического подходов на примере некоторых простейших задач из физики молекул и твердого тела.
1. Элементарная теория молекулярного иона водорода
Молекулярный ион водорода Н? — это простейшее молекулярное образование. Он состоят из трех частиц — двух протонов и электрона, между которыми действуют кулоновские силы.
Классическая физика не может объяснить, почему при взаимодействии атома водорода со вторым протоном возможно образование связанного состояния трех частиц. Этого нельзя сделать, даже если воспользоваться всеми результатами квантовой теории для изолированного атома. Действительно, пусть атом водорода находится в основном состоянии. Волновая функция электрона, находящегося на 15-орбите в поле протона А, известна:
фоЫ = -р=е~ГА1а; (57.1)
здесь та — координата электрона относительно протона А. Вычислим потенциал взаимодействия протона В с этим атомом, усреднив энергию взаимодействия между протоном В и электроном по состоянию (57.1):
§1
R
§1
R
— 2R/a.
(57.2)
здесь г в — координаты электрона относительно протона В; R — расстояние между протонами. Мы видим, что потенциал соответствует отталкиванию между атомом водорода и вторым протоном на всех расстояниях R: V(R) > 0.
Обратимся к последовательной квантовой теории молекулярного иона водорода. Разобьем полный гамильтониан Н всей системы на ядерную часть, куда включим операторы кинетической энергии протонов и их взаимодействия между собой, и часть,
Лекция 18
293
связанную с движением электрона:
Я = Яяд + Яэл, (57.3)
Яяд = Тяд + е2/Д, (57.4)
Яэл = ?эл - е2/гл - е2/гв. (57.5)
Задача заключается в том, чтобы решить стационарное уравне-
