Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Дв(п, а) = е^а(т&) (53.20)
(в частном случае s = ^ свойства этого оператора уже разби-
рались в упр. 10.12). Полный оператор поворота, трансформирующий при повороте системы координат и пространственную, и спиновую части волновой функции частиц, есть произведение соответствующих операторов:
Д(п, а)>(пГ)>(п?) = >(nJ); J =Т+s. (53.21)
Выражение (53.21) естественно обобщается на случай системы многих частиц; в этом случае J — оператор полного момента количества движения всей системы:
N
J = Z6+^)- <53-22)
г=1
Гамильтониан изолированной системы частиц со спином имеет более сложный вид, нежели (53.13). Однако независимо от характера спиновых взаимодействий он, как и гамильтониан (53.13), инвариантен относительно любых поворотов: это есть
следствие изотропности пространства. Значит, согласно (53.10) он коммутирует с оператором (53.21):
[Я, еъа(п3)] = о, (53.23)
откуда следует закон сохранения полного момента изолированной системы:
[Я, J] = 0. (53.24)
Подчеркнем, что если частицы обладают спином, то ни сохранение полного орбитального момента (соотношение (53.17)), ни сохранение полного спина системы (соотношение [Я, S] = 0) не вытекают из общих свойств симметрии пространства. Сохранение этих величин может быть лишь следствием особых свойств гамильтониана системы; например, орбитальный момент и спиновый момент системы сохраняются по отдельности, если отсутствует спин-орбитальное взаимодействие.
268
Раздел 4
2. Симметрия и вырождение энергетических уровней
Рассмотрение этого вопроса мы начнем с доказательства одной важной теоремы: если среди интегралов движения некоторой физической системы есть такие, что их операторы не коммутируют между собой, то энергетические уровни этой системы вырождены.
Пусть А и В — два таких оператора. Согласно условию теоремы, справедливы соотношения
[Я, А] = О, [Я, В\ = 0, (53.25)
[А, В] ф 0. (53.26)
Последнее из них означает (см. § 4), что операторы А и В не
имеют общей полной системы собственных функций, т. е. могут
иметь какую-то общую собственную функцию лишь случайно. С точностью до таких отдельных совпадений можно утверждать, что если ^
= А-п^Рпч (53.27)
т. е. срп — собственная функция оператора А, то
В(рп const • срп. (53.28)
Пусть срп — одновременно собственная функция оператора А и Н (такой выбор обеспечивается первым соотношением (53.25)). Это значит, что
Нерп = Епсрп, (53.29)
где Еп — энергия некоторого уровня системы. Подействуем на правую и левую части этого равенства оператором В\
В(Н(рп) = В(Еп(рп) (53.30)
и переставим операторы В и Н, пользуясь вторым соотношени-
ем (53.25):
Н(Вч>п) = Епфч>п). (53.31)
Полученное соотношение показывает, что функция Всрп тоже является собственной функцией гамильтониана, соответствующей собственному значению Еп. Однако согласно (53.28) она не сводится к срп. Таким образом, уровню Еп соответствуют по крайней
Лекция 16
269
мере две разные волновые функции — српи Всрп, т. е. этот уровень вырожден. Теорема доказана.
Легко увидеть связь доказанной теоремы с проблемой симметрии: под А и В мы можем понимать операторы двух преобразований динамических переменных системы, оставляющих неизменным гамильтониан системы и не коммутирующих между собой; если такие преобразования симметрии существуют, уровни системы вырождены.
Обратимся к хорошо известному примеру. Пусть бесспино-вая частица находится в сферически-симметричном поле. Уровни такой системы вырождены с кратностью 21 + 1. Проанализируем причину вырождения с точки зрения доказанной выше теоремы.
Гамильтониан Н = Т + V(r) инвариантен относительно поворотов системы координат вокруг любой оси, проходящей через силовой центр (начало координат). Рассмотрим поворот вокруг осей хну. Согласно (53.9) им соответствуют операторы
Rx(a) =е^а1х,
К ’ (53.32)
Ry(j3) = е^\
которые коммутируют с гамильтонианом
[H,Rx(a)\ = [H,Ry(f3)\= 0, (53.33)
что соответствует сохранению проекций момента частицы на оси х и у.
[Н, Тх] = [Н, Ту] = 0. (53.34)
Однако операторы (53.32) не коммутируют между собой (см. упр. 5.9):
[Rx(a), Rv{(3)\ (53.35)
(как не коммутируют между собой и операторы 1Х, 1у). Таким образом, условие теоремы выполнено, и поэтому уровни системы вырождены.
Итак, вырождение энергетических уровней физической системы всегда указывает на то, что гамильтониан системы обладает какой-то совокупностью свойств симметрии, причем среди соответствующих операторов преобразования симметрии обязательно есть не коммутирующие между собой. Используя теорию симметрии на практике, мы будем придерживаться следующего нестрогого, но очень полезного правила: чем выше, полнее симметрия
270
Раздел 4
гамильтониана (т. е. чем большим количеством разных свойств симметрии он обладает), тем больше степень вырождения энергетических уровней системы, и наоборот.
Обратимся снова к примеру. Пусть заряженная бесспиновая частица находится в поле со сферически-симметричным потенциалом V(r). Наложим на эту систему постоянное однородное магнитное поле Ж. Мы знаем из §51, что вырождение уровней по магнитному квантовому числу т в таком поле снимается (эффект Зеемана): каждый уровень Eni расщепляется на 21 +1 подуровней Eni(m), т = /, I — 1,..., —I. Это связано с тем, что симметрия гамильтониана возмущенной системы
