Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Говоря о свойствах симметрии гамильтониана, мы имеем в виду инвариантность гамильтониана при тех или иных преобразованиях пространства динамических переменных ?, характеризующих систему. Так, гамильтониан частицы, движущейся в сферически-симметричном поле V(г), инвариантен относительно произвольных поворотов системы координат в трехмерном пространстве; он инвариантен также относительно операции инверсии (г —> —г). Следствием сферической симметрии поля является сохранение момента количества движения частицы. Этот результат известен и в классической механике (хотя его математическая формулировка в классической и в квантовой механике не одна и та же). Однако в квантовой механике следствия сферической симметрии гораздо богаче, чем в классической. Из § 32 мы знаем, что к ним относится «обязательное» вырождение уровней частицы по магнитному квантовому числу — свойство, не имеющее аналога в классической механике. Другим примером чисто
264
Раздел 4
квантово-механического следствия симметрии может служить сохранение четности состояния, когда гамильтониан системы инвариантен относительно инверсии (см. § 12). Ниже мы обсудим три аспекта проблемы симметрии в квантовой механике: симметрия и интегралы движения; симметрия и вырождение энергетических уровней; симметрия и правила отбора. Проявления симметрии при столкновениях частиц будут рассмотрены в соответствующем разделе курса.
1. Симметрия и интегралы движения
Пусть ? — совокупность динамических переменных квантовой системы в некотором n-мерном пространстве (конфигурационном пространстве). Введем оператор g невырожденного линейного преобразования пространства, который ставит в соответствие вектору ? другой вектор ?' = д?. В общем случае оператор д может зависеть от параметра или от нескольких параметров, которые мы обозначим символом г]. Итак,
? = дШ- (53.1)
Поскольку преобразование невырожденное, существует обратный оператор д_1(?7), осуществляющий соответствие:
^ = Г1(»?)Г- (53.2)
Примером рассматриваемого преобразования может служить поворот исходной системы кординат (х, у, z) на некоторый заданный угол вокруг заданной оси; например, поворот на угол а вокруг оси г:
х' = х cos а + у sin а,
у' = — ж sin а + cos су, (53.3)
zf = Z.
Оператор gz(ot) имеет в этом случае вид
/ cos a sin ot 0\ т' ='gz(a)r, gz{®) = I — sin a cosa 0 I . (53.4)
Vo 0 1J
Преобразование динамических переменных (53.1) индуцирует преобразование всех векторов ф(?) пространства состояний
Лекция 16
265
физической системы и соответствующее ему преобразование всех операторов физических величин:
ф —> ф' = 3(г})ф, (53.5)
F -> F' = SFS~1. (53.6)
В § 20 было показано, что оператор S (г/) удовлетворяет в общем случае уравнению
SivWit) = 'Ф(д~1(г])0- (53-7)
Отсюда мы получили, в частности, операторы трансляции Т(а) и поворота R(п, а), выразив их затем через операторы импульса р и момента импульса частицы 1 (соотношения (20.14)
и (20.15)):
г_ ^
Т(а)=е^ар, (53.8)
R(п, а) = (53.9)
Пусть некоторое преобразование динамических переменных оставляет без изменений гамильтониан системы Н. Это означает, что оператор S(rj), соответствующий преобразованию <7(77), коммутирует с Н:
[Я, S(V)] = 0. (53.10)
Действительно, согласно (53.6) имеем
H = SHS~1=H, T.e.SH = HS. (53.11)
Из (53.10) следует, что если оператор S(r/) можно выразить через
оператор какой-либо физической величины F, то этот оператор также коммутирует с Н:
[Я, F] = 0, (53.12)
а, следовательно, соответствующая физическая величина F является интегралом движения для системы с гамильтонианом Н.
266
Раздел 4
В качестве примера рассмотрим изолированную систему N бесспиновых частиц, которые могут быть связаны между собой какими-то силами. Гамильтониан такой системы
^E||+Ey(ir*-rii) <53Л3)
г i<j
инвариантен относительно преобразования трансляции при любом сдвиге а; это есть следствие однородности нашего пространства. Оператор трансляции Т(а) для системы N частиц есть произведение соответствующих одночастичных операторов (53.8) и, следовательно, выражается через оператор полного импульса системы i ^
Т (а) = е^аР, (53.14)
N
р = Ер<- (53Л5)
г=1
Таким образом, из свойства однородности пространства вытекает коммутационное соотношение
[Я, Р]=0 (53.16)
и, следовательно, закон сохранения полного импульса изолированной физической системы.
Если же система находится в однородном поле, гамильтониан инвариантен только относительно трансляций, перпендикулярных полю; значит, в этом случае сохраняется только поперечная компонента полного импульса.
Аналогичным способом можно показать, что из свойства изотропности пространства вытекает закон сохранения полного орбитального момента системы бесспиновых частиц:
[Я, L] = 0, (53.17)
где
N
L = х %]. (53.18)
г=1
Для этого, отправляясь от (53.9), надо построить оператор поворота для системы частиц
|а(^ЕТг) fa(nL)
R(n,a) = e i=1 =еЛ (53.19)
и воспользоваться соотношением (53.10).
Лекция 16
267
Сложнее обстоит дело с частицами, обладающими спином. В лекции 10 мы сформулировали основные положения математической теории спина в полной аналогии с теорией орбитального момента. Продолжая эту аналогию, построим оператор поворота для спиновой волновой функции в форме (53.9):
