Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
В атоме водорода расщепление уровней в однородном электрическом поле пропорционально не квадрату, а первой степени 8 — линейный эффект Штарка. Причиной такого исключительного поведения является «случайное» вырождение по I уровня атома водорода, в результате которого электрон может находиться на определенном уровне в состоянии, четность которого не определена (см. § 35). Это обстоятельство снимает запрет типа (51.37) на матричные элементы оператора d между состояниями, принадлежащими одному и тому же уровню. Следовательно, при рассмотрении эффекта Штарка в атоме водорода (и, разумеется, в водородоподобных ионах) надо пользоваться вариантом теории возмущений для вырожденных уровней.
В качестве примера рассмотрим 1-й возбужденный уровень (п = 2) атома водорода. Согласно § 35 ему соответствуют следующие четыре линейно независимых состояния:
| nlm) = 1200) = R2o(r)Y00,
|2ю) = д21дао(0),
|211) = R2i(r)Yn(e, ip),
|21, -1) = tp).
Легко видеть, что секулярное уравнение (49.40) для оператора возмущения (51.35) принимает вид
= 0. (51.43)
Прямые вычисления недиагональных матричных элементов дают (см. упр. 9.13)
As v12 0 0
V21 As 0 0
0 0 As 0
0 0 0 As
V12 = V21 = —3|е|а<§Ь,
(51.44)
Лекция 15
257
е — заряд электрона, а — атомная единица длины. Корнями секу-лярного уравнения (51.43) являются
Asi = V12, А^2 — — V12, А^з = О, А^4 = 0. (51.45)
Следовательно, исходный уровень с энергией ?о расщепляется в электрическом поле на три уровня с энергиями:
?i = ?о+Д?1 = ?о-3|е|й(?о,?2 = ?о+Д?2 = ?о-3|е|й(?о, ?3 = ей.
(51.46)
Энергии ?i соответствует состояние
{р1 =2-1/2(|200) + |210)>, (51.47)
энергии ?2 соответствует состояние
у>2 = 2_1/2(|200) — |210)), (51.48)
а уровень с энергией ?3 двукратно вырожден — ему отвечают две линейно независимые функции:
121 1) и 121, -1). (51.49)
§ 52. Магнитные и электрические свойства вещества
Главная цель данного параграфа — показать на конкретных примерах, как «проявляется» квантовая механика отдельных атомов в макроскопических свойствах вещества. При этом мы познакомимся с практическим применением теории возмущений для описания смешанных состояний.
1. Магнитная восприимчивость парамагнетиков и диамагнетиков
Как известно из электродинамики, магнитные свойства вещества принято характеризовать магнитной восприимчивостью х? которая определяется следующим образом:
* = -Ш’ <52Л)
где F — свободная энергия единицы объема вещества в магнитном поле Ж. В статистической физике показывается, что свободная
258
Раздел 3
энергия просто связана со статистической суммой Z(/3) смешанного состояния, в котором находятся атомы вещества:
F =-^ In Z((3), (52.2)
N — количество атомов в единице объема.
Рассматривая взаимодействие атомов с магнитным полем в качестве возмущения, мы можем воспользоваться результатами § 50 для вычисления свободной энергии. Согласно (50.39) имеем
/ я (°) _ (°) \
ад = Z0(f3) i-/3^2p(n}Vnn\Vnm\2pn{0) •
V П run ?nJ ~?m J
(52.3)
Это есть статистическая сумма атома с точностью до членов (32V2. Подставляя ее в (52.2) и разлагая логарифм в ряд с точностью до квадратичных членов, получаем
F = F0+NY/P(n)Vnn-
П
-1Е1Ч-12€^C + f(E^01^)2. ««л
пт ?п ?т ' п '
где
F0 = -^lnZ0(/3) (52.5)
— свободная энергия единицы объема вещества при Ж = 0.
Найдем магнитную восприимчивость вещества в слабом магнитном поле. Согласно (51.6) стационарные состояния изолированного атома в отсутствие магнитного поля можно характеризовать квантовыми числами п, /, s, j, rrij, а энергия состояния определяется квантовыми числами п, j по формуле (51.16).
Согласно (31.14) статистический вес чистого состояния в смешанном состоянии определяется его энергией, причем с увеличением энергии он экспоненциально уменьшается. Поэтому при небольших температурах основной вклад дают состояния с минимальной энергией. Если ограничиться учетом вклада только этих состояний, то для того, чтобы отличить одно состояние от другого, достаточно указать значение квантового числа rrij проекции полного момента на ось квантования. Таким образом, низшему энергетическому уровню изолированного атома соответствуют 2j + 1
Лекция 15
259
состояний |rrij), каждое из которых имеет статистический вес
р?] = 1/(2 j + 1), (52.6)
Согласно § 51 матрица оператора взаимодействия атома
с магнитным полем Ж в линейном приближении по Ж имеет вид
{mj\V\m'j) = “Mo g^rnj6mjmy (52.7)
Следовательно, в этом случае
? Pm](mj\V\mj) = о, (52.8)
m:)=—j
а свободная энергия (52.4) с учетом формулы (50.39) принимает вид
F р (модЖ)2 ул 2
F = Fo“^“ 2j +1 2^
mj=-J
т. е.
F = F0-^-(p0g^)2j(j + l). (52.9)
Подставляя это значение F в (52.1), находим
X = ^j-{pog)2j(j + 1). (52.10)
Следовательно, в линейном приближении по Ж магнитная восприимчивость оказывается положительной, что свойственно парамагнетикам. Заметим, что в этом случае х обратно пропорционально температуре Т.
Если j = 0, то магнитные свойства вещества связаны с членом в гамильтониане, пропорциональном Ж2. Рассмотрим вклад этого члена в (52.4). Согласно (42.3) для него имеем
