Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Лекция 15
249
известно, что в таких атомах, как Li, Na, К и т. п., где одночастичная модель описывает состояния валентного электрона особенно хорошо, расщепление уровней Eni по I велико, оно сравнимо с расстояниями между уровнями, относящимися к разным п.
1. Атом водорода с учетом релятивистских поправок
В § 35 мы рассматривали движение заряженной частицы в кулоновском поле. При этом в качестве гамильтониана использовался оператор
H0=p2/2p-Ze2/r, (51.1)
где fi и е — масса и заряд частицы, Ze — заряд кулоновского центра. Этот же гамильтониан может быть использован для приближенного описания атома водорода. Однако при этом игнорируются наличие у электрона спина и квазирелятивистский характер его движения.
В релятивистской квантовой теории показывается, что соответствующие поправки могут быть введены путем добавления к гамильтониану (51.1) следующего члена:
W = Wi + Wb + Wa, (51.2)
где
m = ЩЩ, (51.3)
2filcl г1
W2 = -(Е+^У/2рс2, (51.4)
™у h2 1 dV Ze2h2 г* л ^
2/i с т от 2/i с г
s, 1 — операторы спина и орбитального момента электрона (в единицах Н), с — скорость света, W\ носит название поправки Дарвина, W2 — поправка к нерелятивистскому оператору кинетической энергии электрона, W3 описывает релятивистское взаимодействие магнитного момента электрона, обусловленного наличием у него спина, с кулоновским полем ядра. Это взаимодействие называется спин-орбиталъным.
250
Раздел 3
Нетрудно проверить, что все три поправки имеют порядок v2/с2, где v — скорость электрона. Ввиду малости этого параметра можно рассматривать W как оператор возмущения по отношению к оператору Щ и воспользоваться стационарной теорией возмущений для вычисления соответствующих поправок.
Пусть ?п = — (Z2/2п2)Ео есть некоторое собственное значение невозмущенного гамильтониана Но, а
— волновая функция электрона, находящегося на уровне еп, имеющего орбитальный момент I и полный момент j (см. (41.31)).
Операторы W\ и W2 в представлении функций (51.6) имеют диагональный вид.
— константа, называемая постоянной тонкой структуры.
'ФпЦт(г, сг) = {Im, \ms\jm)(pnimi{Y)xi {<?) (51.6)
^ О ms
{nljmj\Wi,2\nl' j'm'j) = {Wit2)5w5jy5mjm^ (51.7)
где
W\) = (nljmj\Wi\nljmj)
(51.8)
OO
oo
(51.9)
Подставляя сюда из § 35 Rni(r) и E = en, получаем
при l ф 0, при I = 0,
(51.10)
(51.11)
где
(51.12)
Лекция 15
251
Оператор Ws в представлении функций (51.6) также диаго-нален:
^з = ДЩ(Т2-2-Т2), (51.13)
2/ГсГГ5 1
nljrrij | W31 nl'j'm'j) = (W3)djj>du>6mjm’., (51.14)
где
, a2Zi tp 3(j + !) — Щ + 1) — 3/4
^ 2n3 /(i +1)(21 +1)
a2Z4?j {(21 + 1) 1(l-\~ 1) 1 npnj = / + l/2, [— /_1(2/ + 1)_1 при j = / — 1/2.
(51.15)
Складывая средние значения (Wi), (W2) и (W3), получаем следующую поправку первого порядка к энергетическому уровню гп невозмущенного гамильтониана Но:
A ?nj = (nljrrij\W1 + W2 + Wsln/jmj) =
- (51.16)
2n3 Vj + 1/2 4n
здесь Яо = це4/h2.
Итак, исходный уровень с энергией
= -7Г^Ео, (51.17)
2п
вырожденный с кратностью 2п2, за счет релятивистских эффектов расщепляется, причем энергии расщепленных уровней определяются главным квантовым числом п и квантовым числом полного момента j. При этом вырождение не снимается полностью, поскольку состояния cl=j-\-^nl=j — i при данных j, п имеют одинаковую энергию. Рассмотренное расщепление называется тонким, а его величина в соответствии с (51.16) пропорциональна квадрату постоянной тонкой структуры (51.12).
Таким образом, атом водорода имеет следующие состояния:
lsi/2; 2s1/2, 2р1/2; 2р3/2; 3s1/2, 3pi/2, Зр3/2, 3d3/2; 3 d5/2, .
4-----V-----' 4-----V------' 4----V------'
(51.18)
где состояния с одинаковой энергией объединены скобкой.
252
Раздел 3
2. Расщепление атомных уровней в магнитном поле (эффект Зеемана)
Рассмотрим влияние постоянного однородного магнитного поля на спектр уровней одноэлектронного атома.
Если напряженность магнитного поля Ж невелика, то согласно §42 оператор взаимодействия электрона с магнитным полем имеет вид
Йши = = -Ho^igiTz + gssz) (51.19)
(ось z мы направили по Ж). Это выражение получается в пренебрежении квадратичным по Ж слагаемым в гамильтониане. Основываясь на (42.3), легко получить приблизительную оценку малости этого отброшенного слагаемого:
\/л\Ж > ^Щ-{г2), т.е.Ж<--^, (51.20)
8тпс а а
где а — боровский радиус, а — постоянная тонкой структуры.
Из атомной физики известно, что картина расщепления уровней атомного электрона в магнитном поле зависит от соотношения между интенсивностью взаимодействия (51.19) и величиной
спин-орбитального расщепления дублета j = I ± ^. Предельные
случаи этой картины называют случаем «слабого поля» (взаимодействие с магнитным полем много слабее спин-орбитального взаимодействия) и случаем «сильного поля» (взаимодействие с магнитным полем много сильнее спин-орбитального взаимодействия). Мы начнем с рассмотрения произвольного промежуточного случая.
Для этого возьмем в качестве невозмущенного гамильтониана Но оператор
Но = Т + F(r), (51.21)
а в качестве оператора возмущения — сумму оператора (51.19) и оператора спин-орбитального взаимодействия (51.5):
