Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
V = Ка™ + Vsl, Vsl = ± (sT). (51.22)
2/i с г дт
Пусть eni — собственное значение невозмущенного гамильтониана Но. При V = 0 уровень eni вырожден с кратностью
Лекция 15
253
2(2I + 1). Для того чтобы найти, как расщепляется этот уровень под влиянием возмущения, надо построить матрицу оператора V в базисе 2(2I + 1) невозмущенных состояний и диагонализовать ее. В § 49 подчеркивалось, что выбирать базис можно по-разному, с точностью до произвольного унитарного преобразования; результат от этого не зависит. В частности, можно взять в качестве базиса 2(2I + 1) состояний |nlrriims); mi =/,..., —I, ms = ±1/2
или 2(2I + 1) состояний \nljm); j = I ± m = j, ..., — j.
Матрица оператора VMaru в базисе состояний |nlmims) диа-гональна
^Imim^Vu^nlm^rn'g) = -цоЖ^пц + gsms)5mim'i5me7n,e.
(51.23)
Оператор Vsi диагонален по т = mi + ras, но может смешивать состояния с mi = т!i ± 1 (соответственно с ms = m's dL 1):
\nlmime\Vei\nlmim'8) =
(51.24)
Обозначая
Л-Л'-Т) (51-25)
2/t с \г дг /п1 и используя результаты упр. 11.17, получаем
(¦nlmims\Vsi\nlmims) = An/m;ms, (51.26)
(nl, mi = m-i, ms = ||V^|raZ, тог = m+|, ms = -i) = A„/.
Наоборот, в базисе | nljm) диагональна матрица оператора Vsi:
/ 7 • |f> I 7 •/ /\ л J 0* + 1) — Z(Z + 1) — 3/4 (nljm\Vsi\nlj т ) = Xni------------------------%/дшш/,
(51.27)
а матрица оператора VMaru диагональна лишь по га, но имеет как диагональные, так и недиагональные элементы по j. Вычислим ее диагональные элементы. Для этого воспользуемся следующим соотношением для произвольного векторного (псевдовекторного) оператора А:
. . ^ . . (aJM\AJ\aJМ)
(aJM\Az\aJM) = МК---------у ^ (51.28)
254
Раздел 3
которое мы выведем в § 56. Используя также очевидные тождества
(51.29)
Й) = 1(Р+Т2-®2), (*3) = |(J2 + s2-T2),
получаем
(nljm\VM!iTH\nljm) = -/лоЖдт, (51.30)
где д — следующая комбинация констант:
, 9s ~ 9l j(j + 1) + 5(5 + 1) “ W + !)
9 = 91 + —ту----------------, .ч--------------• (51.31)
2 j(j +1)
Аналогичным способом можно вычислить и недиагональные элементы
(nl, j = I + 1/2, га|14агн|^, j = I — 1/2, га).
Случай «слабого поля»: /ноЖ Ani. В этом случае удобно воспользоваться базисом |n/jra), рассматривая взаимодействие с магнитным полем Kiara как малое возмущение гамильтониана Я0 + В низшем порядке теории возмущений расщепление каждого из уровней дублета (nl, j = I ± 1/2) определяется диагональными элементами (51.30) оператора VMaTU:
&?nijm = -ЦоЖдт, то = j, -j. (51.32)
Вырождение уровня eni снимается полностью. Расстояние меж-ду уровнями eni j=i±i/2 в отсутствие магнитного поля гораздо больше, чем расстояние между подуровнями каждого из них при наложении поля. Если не учитывать влияние спин-орбитального взаимодействия Vsi на радиальные волновые функции электрона Rni(r) (и следовательно, на величину \ni), то по формуле (51.27) получаем
?ni,j=i+1/2 — ?ni,j=i-1/2 = AnZ(2/ + 1)/2. (51.33)
Случай «сильного поля»: ро^ ^ Ani Здесь удобно воспользоваться базисом |nlmims). Общую картину расщепления уровня ?ni показывает формула (51.23), согласно которой орбитальный и спиновый магнитные моменты электрона взаимодействуют с внешним полем независимо друг от друга:
А?п1Ш1Шз = ро Ж {^giTfii -Ь gsms). (51.34)
Небольшие сдвиги уровней ?п1Ш1Шз, обусловленные спин-орби-тальным взаимодействием, можно рассчитать по формуле (51.26).
Лекция 15
255
3. Расщепление атомных уровней в постоянном однородном электрическом поле (эффект Штарка)
Взаимодействие атомного электрона с постоянным однородным электрическим полем ? определяется оператором
Уэл = -d? = -dzg, (51.35)
где
d = er (51.36)
оператор электрического дипольного момента атома. Это взаимодействие не зависит от спина электрона, поэтому мы рассмотрим задачу об эффекте Штарка, отвлекаясь от наличия у электрона спина.
Пусть eni — некоторый уровень электрона в невозмущенном атоме, не вырожденный по I. Все (2Z + 1) состояний |nlm), соответствующих этому уровню, имеют одинаковую четность (—I)1. Поэтому любые матричные элементы оператора d в обкладках этих состояний строго равны нулю:
(nlm\d\nlm') = 0. (51.37)
Таким образом, влияние электрического поля на атом проявляется, только начиная со второго порядка теории возмущений. Согласно (49.26) имеем
л (2) / ч \(п'1'т'\ — ez&\nlm)\2
Д4?(»)= Е sl-J, ¦ <51.38)
n'l'm' фп1т
Матричные элементы (n'l'm'\z\nlm) подчиняются правилам отбора:
а)/' = /=Ы, б)ш' = ш; (51.39)
они непосредственно следуют из формулы (Д7.19) для интеграла
<р)У10(в)У1т(в, <р) smOdOdif,
/¦
к которой сводится вычисление этих матричных элементов. Из той же формулы (см. также (Д7.12)) следует, кроме того
(п' I' m\z\nlm) = (nY, —m\z\nl, —т). (51.40)
256 Раздел 3
Учитывая (51.39) и (51.40), окончательно получаем
* Г2Ь, 9^9 \(n'l'm\z\nlrn)\2
дЕ:,?(н)=л* е e„,~L - <5L41)
п' ,l'=l±l
Таким образом, в отличие от эффекта Зеемана вырождение уровня ?ni снимается не полностью: остается двукратное вырождение подуровней с m / 0 по знаку проекции орбитального момента. Величина расщепления уровня, как видно из (51.41), пропорциональна квадрату напряженности поля 8. Это явление принято называть квадратичным эффектом Штарка.
