Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
(a\sms) = S(rms. (39.4)
Если расположить все 25 + 1 значений (39.4), отвечающих каждому ras, в определенном порядке (скажем, в порядке следования ОТ Sz = +5 ДО Sz = —5) , то мы получим 25+1 столбцов ПО (25 + + 1) элемента в каждом. Каждый из таких столбцов — это вектор состояния |sms) в представлении а = sz:
Лекция 10
175
Частным случаем такого представления является запись векторов состояний (38.13) при 5 = 1.
Подчеркнем, что запись векторов состояний \sms) в виде столбцов (39.5) отнюдь не универсальна, а связана с выбором определенного представления (39.3). Так, например, один и тот же вектор 11 1) (описывающий состояние со спином, равным единице, и его проекцией на ось г, тоже равной единице) в представлении (39.3) записывается согласно (39.4)
(см. упр. 10.10).
Спиновые волновые функции называются спинорами. Мы будем выбирать их ортонормированными согласно условию (2.16):
Итак, полная волновая функция частицы со спином зависит от четырех переменных, например:
(39.6)
а в другом представлении, где а = sy,
(39.7)
(Xsms\Xsm's) — '^^Xsms(<J)Xsm's(<J) — $msm's- (39.8)
a
Большое значение имеет также условие полноты
(39.9)
которое можно также записать в виде
(39.10)
Ф = Ф(г, а) = (г, сг|Ф). Условие нормировки (1.3) имеет вид
(39.11)
(39.12)
176
Раздел 2
Пусть Ф(г, 6) — волновая функция какого-то состояния частицы со спином s. В каждой точке г ее можно разложить по полному набору спиноров (39.5):
s
Ф(г> <5) = ^2 'ФтЛг)Х»тЛст)- (39.13)
О каждой из (25 + 1) функций фШз (г) в разложении (39.13) можно сказать, что она описывает движение частицы в состоянии, где проекция ее спина на ось z равна ms. Выражение
ртЛг) = \ФтЛг)\2 (39.14)
есть плотность распределения координаты частицы в этом состоянии, а сумма
p(r) = ^2pma(r) (39.15)
— плотность распределения координаты в состоянии с полной волновой функцией (39.13) безотносительно к ориентации спина. С другой стороны, величина
, ч Pms(r) Pms(r) 1
р”-<г> = ЁХЙ = -Ж <39Л6)
есть относительная вероятность того, что в точке г проекция спина частицы на ось z равна ms (заметим, что одновременное измерение положения и проекции спина возможно ввиду коммутативности соответствующих операторов). Наконец, интеграл
Jpms(r)d3r = Wma (39.17)
есть вероятность того, что в состоянии, описываемом полной волновой функцией (39.13), проекция спина частицы на ось z равна mns безотносительно к положению частицы в пространстве. Из условия ортонормированности спиноров (39.8) и соотношения (39.12) следует:
Лекция 10
177
Выше мы рассмотрели волновую функцию частицы со спином в координатном представлении. Переход к импульсному представлению осуществляется по общим правилам:
Ф(г, а) = (г, ст|Ф) = J(г|р)(р, ст|Ф) d3p; (39.19)
каждый из (25 + 1) элементов спинора Ф(р, а) выражается через соответствующий элемент спинора Ф(г, а) с помощью унитарного преобразования (р|г):
ФтЛР) = f \3/2е (39.20)
J (2тгп)л/
Рассмотрим, как в общем случае вычисляются матричные элементы операторов, действующих на пространственные и на спиновую переменные волновой функции частицы со спином. Пусть F — такой оператор, а ф(А)(г, а) и ф(Б)(г, а) — две волновые функции (которые мы взяли для определенности в координатном представлении). В общем случае оператор F недиагонален по сг:
РФ (г, а) = ^F(cr, (т')Ф(г, </), (39.21)
<т'
здесь F(a, сгг) — оператор, действующий на переменную г. Таким образом, матричный элемент \whF\4f(B^) вычисляется по
правилу
Ф^*(г, a)F(a, </)Ф(В) (г, a') d3г.
ста'
(39.22)
Представим волновые функции и в виде (39.13), т. е. разложим их по спинорам Xsms (&), описывающим состояния с определенным значением проекции спина на ось г:
?А\г, а) = ? Ф^(г)Хвт. и, (39.23)
ms
Ф(в)(г, о) = ^ФтН^Хвт', О). (39.24)
т'3
178
Раздел 2
Тогда для (39.22) получаем
(Ф(л)*|и!/гР|Ф(в)) =
= Е /^ms)*(r){E^™S(Cr)^(<J’ °',)Xsm'(0-')}^)*(r)3r-
msm's <j<j'
(39.25)
В фигурных скобках стоят, как мы видим, матричные элементы оператора F в обкладках спиновых состояний с определенными значениями проекции спина на ось г:
(ms\F\m's) = ^2x*sms °') Xsm'sW)- (39.26)
<j<j'
В общем случае матричные элементы (39.26) — это операторы в координатном пространстве, но в простейших частных случаях, когда F представляет собой комбинацию операторов проекций спина, (ms\F\m's) — это числовая матрица.
Представим совокупность (25+1) функций фШз (г), входящих в (39.24) или (39.23), в виде спинора
(V;ms=s(r) \
Фт3=е-l(r) _ (39.27)
Фт3 = — s(r) /
Сопряженный ему спинор запишется в виде строки |Ф>+ = <Ф| = (^=e(r), C3=s-i(r), Ф*тз=-Ш (39.28)
Тогда видно, что матричный элемент (39.25) можно вычислять по обычным правилам перемножения матриц («строка на столбец»).
ms)(ms\F\m's)(m's|) d3г,
msrn's
(39.29)
где (ф(Л)|га8) — строка функций а (га' — столбец
функций
При выводе правила (39.29) нам нигде не потребовалось выбирать спиновую переменную а в явном виде. Разумеется, результат не зависит от выбора представления. В дальнейшем, если только не будет сделано специальных оговорок, мы будем и спиноры, и матрицы спиновых операторов записывать в представлении \sms), где ms — проекция спина на ось г, так, как это было сделано в § 38.
