Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
2 2
11.2. Пусть в каждом из состояний |nljmj) некоторого атома при фиксированных п, j находится по одному электрону. Показать, что распределение заряда этой совокупности электронов изотропно.
11.3. Доказать, что для произвольной функции /(г) выполняется соотношение
оо
(пЦт,\/{г)\п1'j'm'j) = JR2nl{r) f (r)r2 dr ¦ 5w5jr5mjml..
0
11.4. Атомный электрон находится в состоянии 2р3/2 с проекцией полного момента на ось г, равной mj = Что можно сказать о направлении спина электрона, когда он оказывается на оси г; в плоскости, проходящей через ядро атома перпендикулярно оси z? Ответить на эти вопросы также в случае следующих
состояний: а) 3р3/2, rrij = б) 3d3/2, rrij =
Лекция 11
199
11.5. Две частицы со спинами si = 1 и 52 = 2 находятся в состояниях с нулевыми значениями проекции спина на ось г. Найти распределение суммарного спина этих частиц.
11.6. Найти распределение полного спина системы двух электронов, спины которых антипараллельны.
11.7. Спины двух электронов направлены под углом 60° друг к другу. Найти вероятность того, что полный спин системы равен единице.
11.8. Найти среднее значение оператора (S1S2) в состояниях с определенными значениями полного спина системы двух электронов; si, S2 — операторы спинов этих электронов.
11.9. Частица со спином 1/2 совершает гармонические колебания в состоянии 1рз/2? Trij = С какой вероятностью в этом состоянии представлен квант колебаний частицы вдоль оси z?
11.10. Частица со спином ^ движется в некотором сферически симметричном поле в состоянии |nljnrij). Найти среднее значение оператора (42.12) полного магнитного момента.
11.11. Три частицы со спином 5 = 1 находятся в состояниях с нулевыми значениями проекции спина на ось г. Найти распределение суммарного спина этих частиц.
11.12. Найти средние значения проекций спина на оси координат в состоянии (43.10).
11.13. Рассмотреть задачу § 43 в представлении Гейзенберга.
11.14. Рассмотреть прецессию магнитного момента электрона в постоянном однородном магнитном поле, если в начальный момент времени спин электрона направлен под углом а к направлению поля.
11.15. В условиях упражнения 11.14 найти среднее значение и дисперсию энергии взаимодействия магнитного момента электрона с магнитным полем.
11.16. Нейтральная частица со спином s = 1 и магнитным моментом ц8 находится при t = 0 в состоянии с проекцией спина на некоторое направление, равной ms = +1. Рассмотреть прецессию магнитного момента в постоянном однородном магнитном поле, перпендикулярном этому направлению и имеющему напряженность Ж.
200
Раздел 2
11.17. Частица имеет спин i. При каких соотношениях чисел mi, ms и mj, га', матричный элемент (mi, ras|sl|raj, га') отличен от нуля?
11.18. Доказать соотношение
2f+T J2(nljmi\la х г]2!п13тз) = ^a2(nl\r2\nl),
TTlj
где а — произвольный постоянный вектор, а г — радиус-вектор частицы.
ЛЕКЦИЯ 12 § 44. Опыт Штерна и Герлаха
Среди экспериментов, сыгравших фундаментальную роль в становлении квантовой физики, очень важное место занимает опыт Штерна-Герлаха (1922 г.). Как известно из курса атомной физики, в этом опыте узкий параллельный пучок частиц, обладающих магнитным моментом, пропускался через неоднородное
магнитное поле Ж. Согласно классической электродинамике в таком поле на частицу действует отклоняющая сила
F = (цЧ)Ж. (44.1)
Если конфигурация поля такова, что | Жх | <С | Жг | и | Жу | <С | Жг \, то среднее значение вектора магнитного момента частицы ввиду его прецессии вокруг Ж направлено по оси г. В этом случае отклоняющая сила F тоже в среднем направлена по г:
F={0,0, (44.2)
а ее величина пропорциональна iiz — проекции магнитного момента частицы на ось г. Таким образом, неоднородное магнитное поле действует как анализатор, который сортирует попадающие в прибор Штерна-Герлаха частицы по величине проекции их магнитного момента на характерное для прибора направление — «ось прибора». Историческое значение опыта Штерна-Герлаха заключается в экспериментальном установлении эффекта «пространственного квантования»: пучок, в котором магнитные моменты частиц ориентированы произвольно, расщепляется прибором на несколько отдельных пучков, количество которых строго
Лекция 12
201
определяется сортом частиц. Классическая физика не в состоянии объяснить этот результат. Согласно же квантовой механике дело в том, что проекция магнитного момента частицы на любое направление (в том числе на ось прибора) может принимать лишь определенные дискретные значения. В соответствии с (42.9)
Hz = gsHoSz, (44.3)
где sz — проекция спина частицы на ось г:
sz = s, s - 1, ..., —s; (44.4)
отсюда видно, что количество пучков на выходе из прибора Штерна-Герлаха определяется величиной спина частицы и равно (2s + 1).
В данном параграфе мы отвлечемся от многих физических вопросов, относящихся к осуществлению опыта Штерна-Герлаха, и сосредоточим внимание лишь на одном пункте — способности прибора сортировать падающие частицы по величине проекции их спина на некоторое направление.
Пусть в прибор с осью, совпадающей с направлением оси г, попадают частицы со спином s, спиновое состояние которых описывается некоторой заданной волновой функцией xs(cr). Мы можем разложить ее по полному набору спиноров (39.1), описывающих состояния с определенным значением проекции спина на ось z. В § 39 мы обозначали эти базисные состояния \sms); сейчас мы будем обозначать их \smz), поскольку нам потребуется одновременно рассматривать еще и состояния с определенным значением проекции спина на другие оси, в частности состояния |smx) и |srriy). Итак,
