Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Лекция 10
179
§40. Спин i
л
Этот случай мы разберем подробнее.
При s = ^ проекция спина на выделенное направление принимает два значения: и — Спиновые волновые функции
представляют собой двухкомпонентные спиноры, а спиновые операторы — матрицы размерности 2x2. Вычислим эти матрицы в представлении \sms), где ms — проекция спина на ось г, пользуясь общими формулами из § 38:
». = !(? J). *-§(! о*> Л
=I»2 (5 г
(40.1)
(здесь строки и столбцы идут в следующем порядке: ms =
ms = — i). Базисные векторы этого представления Xi/2т
1
'2’
1
2’
= ras) имеют вид:
*йчм>-(;)- &-!>-(!)¦ <4о-2>
Операторы проекций спина удобно выразить через соответствующие три матрицы дх, ау, az (матрицы Паули):
Si=2<7i, i = У, z, (40.3)
Эх = ( S J) , Эу = (° Д) , (40.4)
которые обладают следующими свойствами:
а) все матрицы Паули эрмитовы:
— ^+-
б) все матрицы Паули унитарны:
= ау =
дхд+ = ауд+ = dzdf = I; (40.6)
180
Раздел 2
вместе с (40.5) это дает также
Ъ2х = Ъ2у= V2Z = J; (40.7)
в) различные матрицы Паули антикоммутируют между собой:
didj = -djdi, i ^ j; (40.8)
г) произведение двух матриц Паули дает третью:
(7х(7у — Ъ(Уz •) CFyCTz — х 1 ^х — Ъ(Уу • (40.9)
Все эти соотношения легко проверяются непосредственно, используя вид матриц (40.4).
Соотношения (40.7) и (40.9) можно объединить в одно общее соотношение: ^
didj = ISij +i^2 eijkVk- (40.10)
к
Отсюда легко также получить общую формулу для коммутатора двух матриц Паули:
[at, dj\ = 2i^2eijkak. (40.11)
к
Помимо матриц (40.4) часто используются (например, в теории элементарных частиц в качестве оператора изо спина нуклона) еще две:
?+=fnnV э-=(°п^). (40.12)
ч0 0J ’ 1;
Непосредственной проверкой легко убедиться, что они имеют смысл проектирующих операторов да состояния 11/2, 1/2) и 11/2, —1/2) соответственно:
~ .1 1\ _ .1 1\ ~ .1 1\ _ п
^"+ | О ? Г) / | Г) ? Г) / ? ^"+ | О ? Г) / ^ 1
z z z z z z (40.13)
? l± i\ -П ?ll _I\ - li _I\
12’ 2 ’ 12’ 2 2’ 2
Пусть х(сг) — спиновая волновая функция произвольного состояния частицы со спином i. Используя волновые функции Xi в качестве базиса, разложим х(а) по этому базису:
2Шз
ХО) = axi iO) _iH- (40.14)
2 ’ 2 2’ 2
Лекция 10
181
В представлении, где а = sz, имеем
!К)-
Х=«Ш+Ч?| = С)- (40.15)
Коэффициенты а и b должны удовлетворять условию нормировки:
М2 + Н2 = 1, (40.16)
а поэтому их всегда можно представить в виде
а = ега cos 6, b = ег(3 sin 6, (40.17)
где а, /3, S — вещественные параметры, принимающие значения из интервалов 0 < а < 2тт, 0^/3^ 2тг, 0 ^ S ^ тг/2. Тогда спиновая функция (40.15) принимает вид
fe'iacos5\ / л г\ 1 о\
<40Л8)
Выясним физические свойства состояния, описываемого волновой функцией (40.18). Для этого вычислим сначала средние значения проекций спина на оси х, у, г. Используя (40.3) и (40.4), получаем
sx = (х|«я|х) = (|)sin2<5cos(a-/3), (40.19)
sy = (x|sy|x) = (I) sin 25sin(a - /3), (40.20)
sz = {x\sz\x) = (I) cos25. (40.21)
Отсюда видно, например, что при S = 0 или <5 = тт/2 среднее зна-
чение проекции спина на ось z достигает максимального значения + i или — i, при этом средние значения sx и sy равны нулю.
При S = 7г/4 среднее значение вектора спина лежит в плоскости ху, а соотношение средних значений sx и sy определяется фазой а — (3 и т. д.
Сейчас мы покажем, что при любых а, /3 и 5 существует такое направление, проекция спина на которое имеет максимальное
значение +^.
182
Раздел 2
Зададим произвольное направление в пространстве единичным вектором п:
п = {пх, пу, nz} = {sin0cos(^, sin в sin ip, cos 0}. (40.22)
Оператор проекции спина на это направление есть
sn = (sn) = $хпх + 'SyUy + s'zTtz. (40.23)
Подставляя сюда (40.4), получаем
S = if cose 8ш0е-‘Л (4024)
п 2 ycos вегч> — cos в J
Пусть |sra = i) — собственный вектор оператора (40.24), т. е.
= 1/2) = 1/2| зп = 1/2). (40.25)
Нетрудно проверить прямой подстановкой в (40.25), что \sn = = 1/2) имеет вид:
I *п = \)= С°]2. • (40.26)
2 \sin| e^J
Сравним (40.26) с (40.18). Для этого слепка преобразуем (40.18), выделив фазовый множитель, несущественный при сравнении двух выражений для волновой функции:
emcosA ja ( cos? \ ег/3 sin 5 J ~e (sin ) ' (40.27)
Сравнение показывает, что для произвольного состояния (40.18) частицы со спином характеризуемого тремя параметрами а, [3 и 6, существует единственное направление п, проекция спина на которое равна Соответствующие значения углов в и ср выражаются через а, /3, 5 по формулам
0 = 25, у = [3- а. (40.28)
Лекция 10
183
С помощью (40.28) легко найти волновые функции состояний с определенными значениями проекции спина на любые направления. В частности, отсюда получаем
+ (40.29)
2' </2\о) v5ll
Is» = = GaD <40-30)
и, конечно,
I». = |) = (J) ¦ (4031)
Заметим, что векторы (40.29)-(40.31) неортогональны друг другу. Напомним также, что мы выбрали представление | sms), где ms — проекция спина на ось г; в другом представлении явный вид спиноров (40.29)-(40.31), разумеется, изменится.
Совершенно условно принято говорить, что в состояниях
(40.29)-(40.31) спин частицы направлен по оси ж, у или z соответственно, равно как и в общем случае (40.18) спин направлен по вектору п, ориентированному в пространстве согласно (40.28). Условность этого выражения связана с тем, что в квантовой механике невозможно одновременно указать определенные значения всех трех проекций момента количества движения на оси ж, у, г, поскольку соответствующие операторы JXl Jy, Jz (в частности, спиновые операторы 'sy и s~z) не коммутируют между собой. А это значит, что никогда невозможно указать и определенное направление вектора момента. Пусть, например, частица находится в состоянии (40.29). В соответствии с принятым условием мы скажем: спин частицы направлен по оси х. Однако легко убедиться, что хотя средние значения проекций спина на перпендикулярные направления в этом состоянии равны нулю:
