Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку по определению величин гатах и ramin состояний с га > гатах и га < ramin не существует, имеем
J1 J 1 ^тах) — 07
+ ' 7 (37.21)
*/—|*7 , ramin) = 0.
Отсюда получаем:
168
Раздел 2
Используя (37.9) и (37.10), запишем эти равенства в виде
(J2 - J2 - JZ)\J2, тотах) = о,
(J2 - Tz + Jz)\J2, mmin) = О,
ИЛИ
( J ^max ^max) | J 4 ^max) = 0,
( J ^min ^min) | J •> ^min) = 0.
Следовательно,
J — ТПтах — Tflm&x = 0,
J ^min ^min = 0.
(37.22)
Нетрудно проверить, что при естественном условии гатах ^ тт-1П эти два уравнения относительно гатах и тт-ш совместимы только в том случае, когда
^min ^ 0? ^-max = ^min- (37.23)
Введем обозначение
Штах = j- (37.24)
Тогда из (37.23) получаем
mmin = -j, j ^ 0. (10.37.24а)
Из (37.22) следует
J2=j(j + 1). (37.25)
Итак, при заданном значении j > 0 собственное значение оператора квадрата момента определяется формулой (37.25), а проекция момента на ось z может принимать значения из интервала
-j < то < j. (37.26)
Какие же значения может принимать jl
Выше было показано, что если | J2, га) есть собственная функция операторов J2 и Jz, принадлежащая собственным значениям J2 = j(j + 1) и Jz = га, то функция J_| J2, га) есть собственная функция тех же операторов, принадлежащая собственным значениям J2 = j(j + 1) и Jz = га + 1. Поэтому при заданном значении j проекция момента может принимать только
следующие значения:
т = j, j - I, j - 2, -j. (37.27)
Лекция 10
169
В свою очередь, это возможно только в том случае, если j имеет целое или полуцелое значение:
3 = 0, 1, §, 2, 3, ... (37.28)
При каждом значении j из этой последовательности величина т принимает (2j + 1) значение (37.27). Величина j обычно называется квантовым числом момента количества движения частицы.
Таким образом, исходя из перестановочных соотношений (37.1) для операторов проекций момента на оси координат, мы нашли спектры операторов J2 и Jz. Важным свойством спектра оператора квадрата момента является то, что квантовое число j может принимать не только целые, но и полу целые значения. Целые значения мы уже получили в § 32 при решении задачи на собственные значения для оператора L2, где использовался явный вид этого оператора. Сейчас мы видим, что при квантовании момента с использованием лишь перестановочных соотношений спектр получается богаче: наряду с целыми имеются и полуцелые значения квантового числа j.
Опыт показывает, что полуцелые значения момента количества движения (в единицах К), так же как и целые, реализуются в природе в виде внутреннего момента частиц — спина. Электроны, протоны, нейтроны, гипероны, /i-мезоны и нейтрино имеют спин
s = 7г-мезоны и i^-мезоны имеют спин 5 = 0. Здесь и далее
мы будем пользоваться символом s для обозначения квантового числа спинового момента:
52 = 5(5 + 1). (37.29)
Для квантового числа орбитального момента принято обозначение I. Итак, если I может принимать только целые, то 5 — как целые, так и полуцелые значения.
§ 38. Матрицы операторов момента количества движения
Возьмем совокупность 2j +1 векторов состояний | jm), где т пробегает, в зависимости от j, либо все целые, либо все полуцелые значения от j до — j. Здесь квантовое число j может обозначать либо орбитальный момент частицы, либо ее спин, либо, как
170
Раздел 2
мы увидим, в § 41, ее полный момент количества движения, образующийся при сложении орбитального момента и спина. Векторы | jm) были введены в § 37 как собственные векторы операторов квадрата момента и его проекции на ось г:
32\jm) =j(j + l)\jm),
- ( ^ Jz\jm) = m\jm).
Найдем матрицы различных операторов, построенных из операторов JXl Jy, Jz, выбрав векторы |jm) в качестве базиса. С задачей такого типа мы уже имели дело в лекции 8 (упр. 8.6). Чтобы решить ее, удобнее всего было задать операторы проекций орбитального момента частицы в сферических координатах и в соответствии с этим выбрать определенное представление базисных векторов, а именно: (0, ср\ 1т) = Угш(0, ф). Конечно, наш результат не изменился бы, если бы мы взяли и операторы, и базисные векторы в других, скажем в декартовых, координатах. Подчеркнем, что независимо от того, возьмем ли мы сферические или декартовы координаты, в любом случае мы должны воспользоваться конкретным представлением базисных векторов 11т) и рассматриваемых операторов, после чего дело сводится к вычислению интегралов.
Представим теперь, что нам надо решить задачу типа (упр. 8.6), но не для операторов орбитального момента, а для оператора спина. Например, как выглядит матрица оператора s2 в представлении собственных функций операторов s2 и?2? Пытаясь решить эту задачу по тому же рецепту, что был изложен выше, мы должны были бы первым делом задать явный вид или, другими словами, конкретное представление векторов \sms), являющихся собственными векторами операторов s2 и s~z. Как это сделать? От какой переменной зависит спиновая волновая функция |sms)7 Каковы возможные значения этой переменной?
Аппарат, разработанный в предыдущем параграфе, позволяет решить поставленную задачу в обход этих вопросов. Начнем с вычисления матричных элементов операторов J+ и J_.
