Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Упражнения к лекции 9
9.1. Найти импульсное распределение трехмерного гармонического осциллятора, находящегося в состояниях 1р.
9.2. Найти матрицы преобразования волновых функций стационарных состояний трехмерного гармонического осциллятора соответствующих энергетическим уровням с Л = 1 и Л = 2 и заданных в представлении |nlm), к представлению \пХ1 пу, nz). Проверить унитарность найденных матриц.
9.3. Показать, что в представлении волновых функций стационарных состояний трехмерного гармонического осциллятора матричные элементы оператора координаты ? отличны от нуля только для состояний, соответствующих соседним энергетическим уровням.
9.4. Найти энергетический спектр анизотропного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
V(r, 0) = i/icj2r2(l + /3P2(cos6)),
где Р2 (cos в) — полином Лежандра, (3 — некоторый вещественный параметр.
Нарисовать схему расположения первых десяти энергетических уровней для значений параметра [3 в интервале — 1 < [3 < 1. Указать кратности вырождения всех уровней.
9.5. Выразить гамильтониан трехмерного гармонического осциллятора через операторы рождения и уничтожения квантов колебаний вдоль осей ж, у, г.
9.6. Найти импульсное распределение электрона, находящегося в основном состоянии атома водорода.
9.7. Вычислить средний электростатический потенциал, создаваемый в пространстве атомом водорода, находящимся в основном состоянии. То же для иона гелия Не+.
Лекция 10
165
9.8. Вычислить разность потенциалов ионизации атомов водорода и тяжелого водорода.
9.9. Вычислить потенциал ионизации мезоатома водорода, находящегося в основном состоянии (масса fi~ -мезона превышает массу электрона в 207 раз).
9.10. Оценить зависимость вероятности захвата ядром 1±~ -мезона, находящегося в основном состоянии мезоатома, от заряда ядра Ze (захват обусловлен реакцией fi~ + р = п + v).
9.11. Согласно классической механике при движении частицы с массой fi и зарядом (—е) в кулоновском поле заряда Ze сохраняется следующая векторная величина:
А = -геЦ + ±[рхЦ,
которая называется вектором Рунге-Ленца. Построить кванто-во-механический оператор, соответствующий этой физической величине, и показать, что он коммутирует с гамильтонианом системы.
9.12. Определить плотность распределения координаты г трехмерного изотропного гармонического осциллятора, находящегося в каждом из состояний |nlm) с А = 1.
9.13. Вычислить матричные элементы (2р, m\z\2s). Что можно было бы сказать о результате на основании соображений о размерности?
ЛЕКЦИЯ 10 § 37. Квантование момента количества движения с помощью перестановочных соотношений
В § 32 мы нашли спектры и общие собственные функции операторов L2 и Lz. При этом использовались явные выражения для этих операторов в координатном представлении и решались соответствующие уравнения на собственные значения в пространстве 1/2. Сейчас мы покажем, что эти же результаты можно получить, исходя только из коммутационных соотношений для операторов проекций момента на оси координат:
з
[Li, Lk} = ih^^eikiLi. (37.1)
i=i
166
Раздел 2
Эти перестановочные соотношения легко получить (см. упражнение 1.7), воспользовавшись явным видом операторов. Однако вскоре мы увидим, что физическое содержание соотношений (37.1) значительно богаче тех непосредственных следствий, которые вытекают из явного вида операторов момента.
Введем безразмерные операторы момента:
Ji = г = 1, 2, 3, (37.2)
J 2 = (37-3)
г=1
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
3
[ Ji, t/fc] = i s-ikiJu (37.4)
i=i
[J2, Jk] = 0. (37.5)
С их помощью определим два новых неэрмитовых оператора:
J+ = 2~1/2(Jx + iJy), (37.6)
J_ ее 2~1/2(Jx - iJy), (37.7)
которые удовлетворяют следующим соотношениям:
(J±)+ = JT, (37.8)
j+j_ = |(j2-jf + j*), (37.9)
J_J+ = |(J2-J^-Л), (37.10)
[J25 J±] = o, (37.11)
[Jz, J±] = ±j±, (37.12)
[J+, J-] = Jz. (37.13)
Допустим, что мы нашли полный набор собственных функций коммутирующих операторов J2 и Jz. Обозначим его через {| J2, га)}. В представлении этих функций имеем
(J2, т\32 - Jl\J2, то) = J2 -то2. (37.14)
Лекция 10
167
С другой стороны,
(J2, ra|J2 — J%\J2, га) = (J2, m|+ J^|J2, m) ^ 0. (37.15)
Следовательно,
J2 — га2 ^ 0, т. e. ra2 ^ J2. (37.16)
Таким образом, при фиксированном значении J2 величина га ограничена сверху и снизу:
^min ^ ТП ^ Штах- (37.17)
Теперь покажем, что | J2, га) удовлетворяет соотношению
J±| J2, га) = Л| J2, га ± 1), (37.18)
где А — константа. Для этого подействуем оператором [Jz, J±\ на функцию | J2, га) и учтем (37.12):
(JZJ± ~ J±JZ)\J2, rn) = ±J±\J2, т). (37.19)
Отсюда получаем
Jz(J±\J2, т)) = (т± 1)(J±|J2, т)), (37.20)
т.е. J±\J2, т) есть собственная функция оператора Jz, принад-лежащая собственному значению Jz = га ± 1. Следовательно,
| J2, га) удовлетворяет соотношению (37.18).
Из (37.18) мы видим, что действие оператора J+ на волновую функцию | J2, га) приводит к увеличению проекции момента га на единицу, а действие оператора J_ приводит к уменьшению га на единицу. Поэтому оператор J+ можно назвать «повышающим», а оператор J_ — «понижающим».
