Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
+1 для протона, (42.8)
О для нейтрона.
Построим оператор спинового магнитного момента частицы по аналогии с (42.7):
p-s = gsp os, (42.9)
Лекция 11
195
где s' — оператор вектора спина частицы. Безразмерная константа gs, называется спиновым гиромагнитным отношением (или спиновым ^-фактором). Она полностью определяет силу взаимодействия внутреннего магнитного момента частицы с внешним однородным магнитным полем:
Явз = -»аЖ = -9siJLo(s ¦ Ж). (42.10)
Опыт дает следующие значения gs:
{—2 для электрона,
5,586 для протона, (42.11)
—3,826 для нейтрона
(заметим, что нейтральная частица — нейтрон — обладает ненулевым внутренним магнитным моментом).
Векторная сумма орбитального и внутреннего магнитных моментов частицы есть ее полный магнитный момент. Этой величине соответствует оператор
Р- = fii + P-s = 5z/V + 9s V os- (42.12)
Ни у одной из известных элементарных частиц орбитальное и спиновое гиромагнитные отношения не равны друг другу: gi ф gs. Поэтому мы не можем написать соотношения пропорциональности типа (42.7) или (42.9), которое связывало бы векторные операторы полного магнитного и полного механического моментов частицы:
/2 7^ const • j. (42.13)
Итак, оператор магнитного момента частицы — это векторный (точнее — псевдовекторный) оператор. В качестве табличного значения внутреннего магнитного момента частицы ц8 принято приводить среднее значение проекции вектора /л3 на ось квантования в состоянии, где проекция спина на эту ось максимальна (т. е. ms = s). Как следует из (42.9), параметры gs и /is, которые совершенно эквивалентны друг другу, связаны между собой простым соотношением
= 9sHoS. (42.14)
Таким образом, табличные значения внутренних магнитных мо-ментов частиц составляют:
fie = —цв для электрона,
/лр = 2, 793/Хдг для протона,
1лп = — 1, 913/Хдг для нейтрона.
196
Раздел 2
Задавая параметр /л3, мы полностью определяем оператор внутреннего магнитного момента частицы:
&=/*»!• (42-15)
§ 43. Прецессия спина электрона в постоянном однородном магнитном поле
Пусть электрон находится в постоянном однородном магнитном поле Ж, направленном по оси г. Не будем интересоваться поступательным движением электрона и проследим только за его спином. Тогда гамильтониан системы можно взять в виде
Я=-№/), (43.1)
где /is — оператор спинового магнитного момента электрона (42.9). Вводя матрицы Паули сг, запишем его в виде
Д* = -Мв?, (43.2)
где /лв = eh/2mec — магнетон Бора.
Учитывая, что магнитное поле направлено по оси г, запишем:
Н = /лвЖаг. (43.3)
Стационарные состояния такой системы — это состояния с определенными значениями проекции спина на ось г:
|1/2, 1/2) = Q) , |l/2,-l/2)=(J). (43.4)
В этих состояниях энергия системы имеет определенные значения:
Е( 1/2) = ,
?(-1/2) = 1 J
а «направление» спина (см. § 40) не изменяется со временем.
Пусть, однако, в начальный момент времени t = 0 спин электрона направлен не по оси г, а, скажем, по оси х. Другими словами, пусть спиновая функция электрона при t = 0 является собственной функцией оператора проекции спина на ось х, принадлежащей собственному значению sx = (формула (40.29)):
= 0) = |Sx = +1/2) = . (43.6)
Лекция 11
197
Это состояние не является стационарным. Как будет изменяться направление спина электрона со временем?
Будем решать эту задачу следующим образом: сначала, пользуясь общим методом § 10, решим уравнение Шредингера с гамильтонианом (43.1) и начальным условием (43.6), а затем, уже зная волновую функцию системы ip(t) при t > 0, установим все интересующие нас свойства системы в произвольный момент времени.
В соответствии с (10.3) имеем
Поскольку в нашем случае полный набор состояний грп исчерпывается двумя состояниями (43.4), ищем ф(?) в виде
Здесь а и b — комплексные числа, которые мы найдем из начального условия (43.6):
есть ларморова частота, известная из классической теории прецессии магнитного момента.
В § 40 было показано, что в состоянии
спин имеет «направление», определяемое следующими полярным и азимутальным углами (соотношение (40.28)):
(43.7)
П
ф(?) = а
(43.8)
(43.10)
(43.9)
где
L1в$€
си — —-— — --------
Н 2 тес
(43.11)
(43.12)
в = 2S, ip = [3 — а.
(43.13)
198
Раздел 2
Сравнивая (43.10) и (43.12), получаем
в = 7г/2, ср = 2ut, (43.14)
т. е. спин «вращается» в плоскости (ж, у) с постоянной угловой скоростью 2ио.
Полученный результат аналогичен соответствующему классическому результату: магнитный момент во внешнем постоянном однородном магнитном поле совершает прецессию вокруг направления поля с постоянной частотой. Правда, в рассматриваемом случае эта частота оказывается в два раза большей, чем частота прецессии в классической механике — ларморова частота си = еЖ j 2т ес. Это объясняется тем, что гиромагнитное отношение для электрона в два раза больше соответствующей классической величины (см. (42.11)).
Упражнения к лекции 11
11.1. Найти плотность распределения заряда электрона в следующих состояниях атома водорода:
а) 2pi, rrij = i; б) 2pg, rrij = i;
2 2
в) 2^3, rrij = i; г) 3d 5, rrij = |.
