Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Для этого вычислим среднее от оператора J+ J_ в состоянии |jm), определенном соотношением (38.1). Согласно (37.9), имеем
(jm\J+J-\jm) = i{j(j + 1) - m2 - т}. (38.2)
С другой стороны,
(jm I j+j-\jm) = ^2(jm\J+\j'm')(j'm'\J-\jm). (38.3)
j'm'
Лекция 10
171
Согласно (37.18) матричные элементы операторов J+ и J_ диа-гональны по j, поэтому j' в (38.3) принимает единственное значение j' = j. Число га/ тоже принимает единственное значение га' = га — 1. Таким образом,
(jm\J+J-\jm) = (jm\J+\j,m — l)(j,m — l\J-\jm) =
= \{jm\J+\j,m - 1)|2. (38.4)
Из (38.2) и (38.4) получаем
/• I? I- i\ iS A U + Ш)0' _ m + 1) non
(jm\J+\j,m - 1) = e \ ------------------. (38.5)
Воспользуемся свободой в выборе фазовых множителей волновых функций | jm) и положим 5 = 0. Тогда получим
v ^ v / (i + га) (7 — га + 1)
(jm\J+\j,m- 1) = {j, т — l\J-\jm) = W--------------------------.
(38.6)
Все другие матричные элементы операторов J+ и J_ равны нулю.
Далее найдем матричные элементы операторов Jx и Jy. Из (37.6) и (37.7) имеем
? = ^=(J+ + •/-). Л = ^=(?- - ^+)- (38.7)
Из (38.6) следует, что нетривиальные матричные элементы этих операторов имеют вид
{jm\Jx\j,mT 1) = ^л/0'±т)0'Тт + 1), (38.8)
<jm|m =F 1) = T|\/(j ±m){j Tm + 1). (38.9)
Матрицы операторов Jz и J2 в представлении | jm), очевидно,
диагональны:
= rn5mm,, (38.10)
{jm\32\jm') = j(j + 1 )6mm>. (38.11)
172
Раздел 2
Итак, мы получили формулы для вычисления диагональных по j матричных элементов операторов J+, J_, Jx и др. Легко показать, что недиагональные по j матричные элементы всех этих операторов равны нулю.
Матрица каждого из операторов J+, J- и т. п. при фиксированном j имеет размерность (2j + 1) х (2 j + 1).
Построим, например, эти матрицы для j = 1. В этом случае имеем
т = +1, 0, —1.
Нумеруя строки и столбцы матриц в указанной последовательности, получаем матрицы размерностью 3x3:
/О 1 0\ /0 0 0\
J+ = 0 0 1 , 1=1 0 0 ,
V0 0 0/ \0 1 о/
^0 -i 0 г 0 —г V2 \0 г 0
Jy = -L I i 0 —г ) , (38.12)
/2 0 0\
Л = | 0 0 01, J2 = 0 2 0 .
\0 0 2/
Базисом для представления операторов (38.12) послужили три вектора | jm): |1; 1), 11; 0) и 11; — 1). Каждый из этих векторов тоже удобно представить в виде матрицы (столбца) в том же представлении:
|11)= 0 , |10> = 1 , |1, -1)= 0 . (38.13)
Соответственно для бра-векторов (jm\ получаем
(1 11 = (1 0 0), <1 0| = (0 1 0), (1, -1| = (0 0 1). (38.14)
Рассмотрим примеры использования матриц (38.12) в простейших расчетах.
Пример 1: разложить вектор JxJy |1 1) по базису (38.13).
Лекция 10
173
Решение:
JXJy |1 1) = —
=(ХЬ0^
1,
Итак,
Пример 2: найти среднее значение величины в состоянии 11 0). Решение:
. /0 1 0\ . /0 1 0\ /ON
(10|^|10) = (0 10)^ 1 о lU 1 0 11
Л/2 \0 1 О/ V2 \0 1 0/ \0>
= (010) =
1
\2
О
1
2/
= 1.
§ 39. Спиновая волновая функция частицы
Волновая функция произвольного состояния бесспиновой частицы является, как мы знаем, функцией трех переменных. В координатном представлении это компоненты радиус-вектора частицы г = {х, у, zj, или г = {г, в, (pj, в импульсном — компоненты импульса р = {рх, ру, pz} ит. п. Возьмем теперь частицу со спином s. В нерелятивистской квантовой теории величина спина s является вполне определенной характеристикой, присущей каждой частице. Это значит, что оператор квадрата внутреннего момента частицы s2 при всех обстоятельствах коммутирует с полным гамильтонианом системы, в которую входит частица (в том числе с гамильтонианом свободной частицы), а также с операторами всех динамических переменных, характеризующих движение частицы как целого. Иными словами, спиновые операторы действуют в совсем другом пространстве, нежели пространство переменных {х, у, zj или эквивалентных им переменных, характеризующих поступательное движение частицы.
174
Раздел 2
Пространство спиновой переменной частицы одномерно. В общем случае будем обозначать эту переменную символом а. Спиновую волновую функцию частицы будем записывать в виде х(сг) или xs(cr); когда понадобится, будем также снабжать символ Xs(c) дополнительными индексами, характеризующими спиновое состояние частицы. Частица со спином s может, например, находиться в одном из 2s + 1 состояний, где определена проекция спина на ось г; согласно правилам § 38 мы обозначим их \sms), где ms = 5, 5 — 1, ..., —s. Соответствующую спиновую волновую функцию будем записывать в виде
ХзтЛ<г) = {<r\sm8). (39.1)
Сравним (39.1) с соответствующей записью пространственной волновой функции частицы (например, для частицы, движущейся по определенной «квантовой орбите» в сферически-симметрич-ном поле):
Фп1т{ г) = (r| nlm). (39.2)
Таким образом, в соответствии с терминами, которые мы ввели в §23, можно сказать, что в выражении (39.1) символ sms является индексом состояния, а символ сг — индексом представления.
Переменная а — это дискретная переменная. При фиксированном s она принимает 25 + 1 различных значений. Можно, например, взять в качестве сг значение проекции спина на ось г:
О = 5? = 5, 5 — 1, . . . , —5. (39.3)
При таком выборе спиновой переменной значения волновой функции (39.1) в точках (39.3) вычисляются по простой формуле:
