Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
|1, 0) = 2“1/2{ха(1)Х/з(2) + Ха(2)Х/?(1)}, (41.27)
|1, -1) = Х/з(1)Х/з(2), (41.28)
и для синглетного состояния (S = 0, Ms = 0):
|0, о) = 2-1/2{ха(1)Х/з(2) - х«(2)х/з(1)}- (41.29)
Обратим внимание на следующую важную особенность: все три-плетные состояния описываются симметричными, и синглетное — антисимметричной относительно перестановок частиц 1 и 2 спиновой волновой функцией:
|SMs(<Ti, СТ2)) = (-1)5+1|SMg(a2, ^)). (41.30)
Лекция 11
191
4. Векторное сложение орбитального момента
со спином s = ^
л
Если частица со спином s = ^ находится в состоянии, где ее орбитальный момент равен I, то согласно «правилу треугольника» ее полный момент j = 1 + s может иметь два значения: j = I + ^ и
j = I — Пусть Ф^т(г, сг) — волновая функция состояния, в котором полный момент частицы равен j, а его проекция на ось z равна га. Согласно (41.14) эту волновую функцию можно представить в виде суммы произведений пространственной и спиновой волновых функций частицы:
а) = (Imi, iras|jra)(^mz(r)xi (сг). (41.31)
rriims 2
В свою очередь, пространственная волновая функция fijmXг) имеет вид произведения радиальной и угловой функции (см. (32.23)):
№ш|(г) = Rij(r)Yimi(0, <р). (41.32)
Числа mi = 1,1 — 1, ..., — I и ras = в (41.31) — это проекции
орбитального момента и спина частицы на ту же ось квантования (ось z), относительно которой проекция полного момента j равна га.
Вычислим коэффициенты векторного сложения (imi, ^ms \ jm)
с помощью таблицы (Д11.5). При фиксированных j и га квантовое число ms (а следовательно, и mi) принимает, вообще говоря, два значения:
ms = mi = га — ms = га =р (41.33)
Таким образом, матрица коэффициентов (Imi, ^ms\jm) имеет
192
Раздел 2
размерность 2x2:
I + 1/2 + т
ф. . 1 (г’ ^ = V о] л. 1 V, ¦ 1(г)ХиИ+
Ч3=1+2,ш V 1,3=1+2’ш~2 2 2
I1 + 1/2 — т
+ V 21 + 1 <4U4)
т / \ I1 +1/2 — т
ф7 . 7 1 (г,<г) = \ —^7X1---^ , 1 i(r)XiiH-
43=1- 2’m V l,3=l~ 2’m_2 2 2
I + 1/2 + m
—^7—i-----------?> . . i i(r)Xi iW- (41.35)
Zt I 1,3=1— 2 ’m+ 2 2 2
В представлении, где сг = sz, спиновые функции x (cr)
2 2
имеют вид (40.2), и волновые функции (41.34), (41.35) удобно записать в виде двурядных спиноров следующего вида:
У 1 = Л ! (
1,3=1+2,гп 1,3=1+ 2
(41.36)
Ф 1 = Л ,(г)х
11 + 1/2 — m .. ,
V at.
11 + 1/2 + ж , .
(41.37)
В этом представлении операторы j2 и имеют вид:
Лекция 11
193
Используя эти выражения, легко непосредственно убедиться в том, что волновые функции (41.36) и (41.37) описывают состояния с определенными значениями квадрата полного момента и его проекции на ось г, т. е.
В § 32 мы условились пользоваться стандартными спектроскопическими обозначениями состояний с определенным значением орбитального момента: s, р, d и т.д. Будем также пользоваться символом lj для обозначения состояния частицы с орбитальным моментом I и полным моментом j. Например, символ pi/2 обо-
1 я
значает состояние с I = 1, j = = 1? j = ^5/2 — I = 2;
§ 42. Оператор магнитного момента частицы
С внутренним механическим моментом частицы — спином — связан ее внутренний (или «спиновый», «собственный») магнитный момент. В нерелятивистской квантовой теории спиновый магнитный момент рассматривается как особое свойство частицы, о котором мы знаем из опыта. Построить оператор спинового магнитного момента частицы в нерелятивистской теории — значит найти общее выражение для такого оператора, куда величина магнитного момента входила бы как параметр, который не вычисляется теоретически, а подлежит определению на основании опытных данных. Мы сначала найдем оператор магнитного момента бесспиновой заряженной частицы, а затем воспользуемся полученным выражением для построения оператора спинового магнитного момента.
В данном параграфе будем обозначать заряд частицы символом Ze, где е — абсолютная величина заряда электрона (е > 0); таким образом, для электрона Z = — 1, для протона Z = +1 и т. п. Пусть частица с массой т и зарядом Ze помещена в постоянное однородное магнитное поле Ж. Классическая функция Гамильтона такой системы имеет вид
(41.40)
(41.41)
j = | и т. д.
(42.1)
194
Раздел 2
где с — скорость света, А — векторный потенциал электромагнитного поля, который в нашем случае можно записать в виде
А = -| [Ж х г]. (42.2)
Подставляя (42.2) в (42.1), получаем
я = i ~ ^ х ri3' (423>
где
'424>
— магнитный дипольный момент, a L = [г х р] — орбитальный момент частицы.
В квантовой механике магнитному моменту (42.4) сопоставляется оператор
= (Zeh/2mc)\, (42.5)
где 1 — оператор орбитального момента частицы, измеренный в единицах h. Комбинация констант
fiQ = eh/2mc (42.6)
при га, равном массе электрона, называется магнетоном Бора (рв = eh/2mec); при га, равном массе протона, — ядерным магнетоном (hn = eh/2mpc). Оператор (42.5) будем также записывать в виде
Дг = 91/V (42.7)
где безразмерная константа gi называется орбитальным гиромагнитным отношением (или орбитальным ^-фактором). Как видно из сравнения (42.7) и (42.5), орбитальное гиромагнитное отношение gi есть просто заряд частицы в единицах е, т. е.
{ — 1 для электрона,
