Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Теперь найдем плотность тока вероятности (7.5), соответствующего движению частицы по орбите \п1т):
j nlm = {^/^Щ){Фп1гп^'Фгъ1гп — Фп1т^Фп1т)'
В сферической системе координат оператор градиента есть
w_____9 , Л 1 9 , Л 1 д
V - ег-—ео г :—л 7Г- ’
or 'об г sm в dip
где ег, е<9, — соответствующие орты. Поскольку функции
Rni(r) и вim (в) вещественны, то
jnlm(r) =еу^ h-a\lpnlm(r)\2,
fi rsmO
т. е.
jnZm(r) — • /) Pnlmij'') @)-
jirsmO
(34.5)
Таким образом, плотность тока вероятности не зависит от азимутального угла ip и всегда имеет направление е^. При т = О имеем j = 0, при т/0 абсолютная величина плотности тока не
Лекция 9
153
зависит от знака га, а направление тока при изменении знака га изменяется на противоположное:
jnlm{^•> = — т{^•> $)• (34.6)
Пусть по каждой из 2/ + 1 орбит, принадлежащих уровню Eni, движется по одной частице (взаимодействием частиц друг с другом мы пренебрегаем). Тогда плотность пространственного распределения этих частиц есть
1 1
Е /Wr>в) = \Rm(r)\2 Е \Y^ ^)i2 = ^r\Rm(r)\2,
т= — 1 т= — 1
(34.7)
т. е. она изотропна (здесь мы воспользовались формулой (Д7.15)). Используя (34.3), получаем
I I
V Ыш(г, в) = V mpnim(r, в) = 0, (34.8)
^ jir smO
т= — 1 т= — 1
т. е. плотность полного тока вероятности в этом случае равна нулю.
Дополним представление о «квантовых орбитах» рассмотрением импульсного распределения частицы. В общем случае этот вопрос был разобран в § 15. Согласно (15.8) и (15.9) плотность импульсного распределения частицы, находящейся в стационарном состоянии \nlrn), не зависит от времени и может быть вычислена по формуле
Рп1т( Р) = (27Г К)
-3
/
е hPV4>nim(r)d3r
(34.9)
Мы видим отсюда, что рп1т(р) зависит не только от величины, но и от направления импульса, т. е. разные направления импульса р представлены в состоянии \nlmn) с разной вероятностью.
Будем характеризовать вектор р сферическими координатами:
Р = {Р, 8р, <Рр}- (34.10)
Покажем, что в стационарном состоянии \nlm) плотность импульсного распределения не зависит от азимутального угла срр,
154
Раздел 2
а зависимость от полярного угла вр имеет универсальный характер. Для этого удобно воспользоваться разложением экспоненты, стоящей под интегралом в (34.9), по сферическим функциям (см. (Д9.1)):
= 4тгY,iXh(ar)Y^(0a, <pa)YXll(0r, <pr); (34.11)
Xfl
здесь j\ (x) — сферические функции Бесселя, с которыми мы уже встречались в §33. Подставляя (34.11) в (34.9) и учитывая ортонормирование сть функций Yim(0, ср), получаем
Рп1т( Р) —
(2тГ Н)3
оо
4тг(-i)lYlm(ep, <рр)fji {^)Rni(r)r2 dr
2h3
. /рг
)Rnl(r)
r dr
. (34.12)
Отсюда видно, что зависимость плотности pnim{р) от абсолютной величины импульса р одна и та же для всех (2Z +1) квантовых орбит, соответствующих уровню Eni, и определяется видом радиальной волновой функции Rni(r).
В частном случае, когда 1 = 0, распределение импульса частицы сферически симметрично и вычисляется по формуле
Рп00(Р) —
27T2h3
оо
/
sin {рг /К) (pr/h)
Rno(r)r2 dr
(34.13)
здесь мы воспользовались соотношениями 0оо=2 2 (см. (Д7.18)) и jo (х) = (sin х)/х (см. (Д8.6)). Разумеется, формулу (34.13) легко получить, и не прибегая к разложению (34.11), а вычисляя интеграл, стоящий в (34.9), по углам непосредственно. Однако если
I Ф 0, то такое прямое вычисление оказывается очень громоздким и более сложным, нежели использование разложения (34.11).
Лекция 9
155
§ 35. Движение частицы в кулоновском поле (дискретный спектр)
Найдем стационарные состояния дискретного спектра частицы в кулоновском поле с потенциальной энергией:
Ищем решение уравнения (32.26) для радиальной функции и (г) при фиксированном значении I в виде
Wi(r) — некоторый полином. Решением соответствующего уравнения для Wi(r) является вырожденная гипергеометрическая функция:
причем квадратичная интегрируемость функции щ(г) имеет место только в том случае, когда F сводится к полиному конечной степени. Это, в свою очередь, осуществляется тогда и только тогда, когда первый аргумент вырожденной гипергеометрической функции есть целое отрицательное число или нуль:
V{r) = -Ze2/r, Z > 0.
(35.1)
щ(г)=г1+1е *rWi(r),
(35.2)
где
(35.3)
Wi(r) = F
це4Z2 \ 2h2\E\
+ Z + 1, 21 + 2, 2з/ст I ,
(35.4)
(35.5)
где
nr = 0, 1, 2, 3, ...
Отсюда получаем энергетический спектр системы:
(35.6)
Еп = soZ2/2n2,
(35.7)
где
in — I -\~ 1, I ~\~ 2, I -\~ 3,
(35.8)
156
Раздел 2
для выбранного значения I. Величина
4
?о = 27,21 эВ (35.9)
Ьг
называется атомной единицей энергии.
Из (35.8) следует, что если фиксировать не I, а п, то I может принимать следующие значения:
I = 0, 1, 2, ..., п- 1. (35.10)
Квантовое число п может принимать только целые положительные значения:
п = 1, 2, 3, ... (35.11)
и согласно (35.7) играет роль главного квантового числа.
Радиальные функции, соответствующие паре квантовых чисел п, I, имеют вид
Rnl{r) =Nnlrle~™rF(l + l-n, 21 + 2; fgr), (35.12)
где
а=—.г и 5.29 х 1(Г9 см (35.13)
fie1
называется атомной единицей длины. Заметим, что вырожденная гипергеометрическая функция в (35.12) сводится к обобщенному полиному Лагерра (см. Дополнение 10):
