Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
F(l + 1 - п, 21 + 2; Щ = (35.14)
а нормировочный множитель Nni определяется из условия нормировки (32.31).
Мы видим, что дискретный энергетический спектр частицы в кулоновском поле (35.7) представляет собой систему уровней, сгущающихся к точке Е = 0, которая дискретному спектру не принадлежит. Энергия каждого стационарного состояния однозначно определяется главным квантовым числом п и не зависит от орбитального квантового числа I.
При данном значении энергии Еп, т. е. при фиксированном значении главного квантового числа п, орбитальное квантовое
Лекция 9
157
Таблица 1. Низшие стационарные состояния в кулоновском поле
п 1 Символ состояния Rni (г) Nn
1 0 Is / 3/2 (-J 2ехр (-Zr/a) 1
2 0 2s (Z/2a)3/2(2 — Zr/a) ехр(—Zr/2а) 4
1 2 р (Z/2а)3^2(Zr/л/За) ехр(—Zr/2а)
3 0 3s <z/3«)>«2(i-§t + ?zj Ы-?)
1 3 р <Z/3“)1'%V2 «Г(1 5«Г)“Р( Zr/3o) 9
2 3d (Z/3a)3/2 ехр( Zr/За) 27 л/lO а2
число I принимает п различных значений (35.10), каждому из которых соответствует 21 + 1 линейно независимых функций
Фп1т{?) = Rnl {тУ^1ш (0, (f).
Следовательно, помимо вырождения по магнитному квантовому числу га, обязательного для любого сферически-симметричного поля (см. § 32), в кулоновском поле для всех уровней, кроме основного, имеет место дополнительное вырождение по орбитальному квантовому числу I, которое было названо в § 32 «случайным». Нетрудно проверить, что кратность вырождения каждого энергетического уровня есть
Nn = п2. (35.15)
В табл. 1 приведены квантовые числа низших стационарных состояний частицы в кулоновском поле и указана кратность вырождения Nn каждого энергетического уровня.
Отметим, что каждому энергетическому уровню, кроме основного, принадлежат состояния как с положительной (I — четное), так и с отрицательной (I — нечетное) четностью.
Рассмотрим линейную комбинацию ф собственных функций, принадлежащих некоторому энергетическому уровню:
ф = афП1 + РфП1/
158
Раздел 2
Пусть при этом четности чисел I и V противоположны. Функция ф является собственной функцией, принадлежащей тому же энергетическому уровню, но она не обладает определенной четностью. Поэтому частица, движущаяся в кулоновском поле с некоторым определенным значением энергии, может находиться не только в состояниях с определенной четностью, но и в таких состояниях, в которых четность не имеет определенного значения (исключением является низший энергетический уровень, которому соответствует только четное состояние). Так, например, в состоянии ¦ф = (-02* + V>)/21/2 четность не имеет определенного значения. Эта ситуация аналогична той, которая была рассмотрена в § 32 в связи с вырождением по т в произвольном сферически-сим-метричном поле.
Укажем средние значения г±х и г±2 в произвольном стационарном состоянии (nl):
Эти формулы можно получить с помощью соотношений, приведенных в Дополнении 10.
С помощью (35.16) и (35.17) можно найти дисперсию координаты г в произвольном состоянии ('nl):
Отсюда видно, что при фиксированном п координата г имеет минимальный разброс, если I имеет максимальное возможное значение I = п — 1. Такие кулоновские орбиты называются «круговыми».
В заключение отметим, что волновые функции (35.12), вычисленные при произвольном Z, называются водородоподобными. При Z = 1 они описывают стационарные состояния атома водорода. Надо помнить (см. упр. 8.8), что в этом случае в уравнение Шредингера, а следовательно и в соотношения (35.9)
г = (nl\r\nl) = ^(3п2 - 1(1 + 1)),
(35.16)
г2 = (nl\r2\nl) — (5ft2 + 1 — 31(1 + 1)),
(35.17)
(9.35.17а)
(9.35.176)
(nl\(r - r)2\nl) = |(|f) {n2(n2 + 2) - l2(l + l)2}. (35.18)
Лекция 9
159
и (35.13), входит не масса электрона, а приведенная масса атома водорода
memv
»=-,-----(35.19)
(гае + тр)
Поскольку те <С тр, то возникающая при этом поправка к спектру (35.7) и к волновым функциям (35.12) невелика. Однако иногда ее необходимо учитывать (см. упр. 9.8).
§ 36. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор
Найдем стационарные состояния движения частицы с массой ц в поле с потенциальной энергией:
V{r) = |*й<А-2. (36.1)
Ищем решение уравнения (32.26) для радиальной функции и(г) при фиксированном значении I в виде
щ(г) = г1+1ехр(-|(4) )Wi(r)’ (36-2)
где
/ h \ 1/2
ГО = (|у) , (36.3)
Wi(r) — некоторый полином. Решением соответствующего уравнения для Wi(r) является вырожденная гипергеометрическая функция:
W№) = F(i(i+l-|;),i+|;(^)2), (36.4)
причем квадратичная интегрируемость функции щ(г) имеет место только в том случае, когда F сводится к полиному конечной степени, т. е. тогда и только тогда, когда первый аргумент вырожденной гипергеометрической функции есть целое отрицательное число или нуль:
!(i+§-?)=-"¦ <36-5)
где
п = 0, 1, 2, 3,
(36.6)
160
Раздел 2
Отсюда получаем энергетический спектр трехмерного изотропного гармонического осциллятора:
Еа = hcu(A + 3/2), (36.7)
где
Л = 2 п + / = /, I + 2, I + 4, ... (36.8)
для выбранного значения I.
Из (36.8) следует, что Л может принимать только целые неотрицательные значения:
Л = 0, 1, 2, 3, ... (36.9)
и играет роль главного квантового числа.
