Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
А ^ JI iif'2 ?J2 iif'2
= (л^ъ j2m2\jij2jm) — это коэффициенты, образующие матрицу преобразования от одного набора к другому:
\j1j2jm) = CjTmuhm2\hmi, j2m2), (41.14)
777,17712
bimi, j2m2) = ECjZi,hm2\J1J2jm) (41.15)
jm
188
Раздел 2
(мы будем всегда считать эту матрицу вещественной, определяя из этого условия фазовые множители векторов \jij2jm). Квантовые числа га, т\ и гаг, входящие в коэффициенты Cj'^nij2rn2, связаны между собой соотношением (41.13). Чтобы найти при фиксированных j\ и j2 возможные значения j, будем рассуждать следующим образом.
Во-первых, убедимся в том, что j не может быть больше арифметической суммы j\ + j2. Действуя от противного, предположим, что j > j 1 + j2. Тогда согласно (41.10) среди возможных значений га будут такие, которые по абсолютной величине больше, чем ji Jrj2. Это требует соотношения \т\ +т2\ > j\ +j2, что противоречит (41.3). Во-вторых, легко видеть, что максимальное значение j не может быть меньше, чем j\ + j2. Действительно, в противном случае нельзя было бы удовлетворить соотношению (41.15), если в его левой части взять, например, максимальные значения чисел гп\ и т2\ т\ = j\ и т2 = j2. Итак, максимальное значение j равно j\ + j2.
Полное число состояний \jij2jm), соответствующих значению jmax = ji + J2 и имеющих разные га, есть, очевидно, 2 jmax + + 1 = 2(ji+j2) + l. Присоединяя к ним все состояния \jij2jm), соответствующие значениям j = jmax -1, j = jmax - 2 и т. д., и устанавливая их соответствие состояниям другого набора \jimij2m2) мы исчерпаем весь этот набор, когда пройдем весь ряд последовательных значений j от jmax = jx + j2 до jmin = |ji - j21. Действительно, полное число различных состояний \jij2jm), соответствующих этому интервалу, есть
jl +32
53 (2j + 1) = (2ji + l)(2j2 + 1), (41.16)
J = IJ1 J 2 I
что равно числу различных состояний \jimij2m2) при тех же значениях j\ и j2.
Итак, при фиксированных j\ и j2 коэффициенты С^^711^2Ш2 подчиняются условию
j = ji +32, Ji +32 - 1, •••, \ji ~h\, m = m1+m2 (41.17)
и образуют квадратную матрицу. Они называются коэффициентами векторного сложения (коэффициентами Клебила-Гордана).
Для них существует много разных обозначений, в частности следующее:
CjZihm2 = (jimь j2m2\jm). (41.18)
Лекция 11
189
Из унитарности преобразования (41.14)—(41.15) вытекают соотношения
^2 0’iTOb j2m2|jm)0'imi, j2m2|/m') = 6^8тт>, (41.19)
777,17712
j2m2\jm)(j1m'1, j2m’2\jm) = <5mim'/m2m', (41.20)
jm
выражающие свойства ортонормированности и полноты коэффициентов векторного сложения. Ряд других полезных соотношений для этих коэффициентов, которые мы не будем выводить, приведен в Дополнении 11. Имеются таблицы численных значений коэффициентов Клебша-Гордана; существуют также простые формулы для их вычисления (Дополнение 11).
Коэффициенты векторного сложения имеют простой физический смысл. Как видно из (41.14), величина j2m2)2 есть
вероятность того, что в состоянии \j1j2jm) (где суммарный момент двух подсистем равен j, а его проекция на ось z равна га) проекция момента первой подсистемы на ось z имеет определенное значение mi, а проекция момента второй — значение m2 = = т — mi. Та же величина (Cj^nij2rri2)2 есть согласно (41.15) вероятность того, что в состоянии |jimi, j’2^2) (где заданы значения проекций моментов каждой из подсистем) суммарный момент системы равен j.
2. «Правило треугольника»
Обратимся к соотношениям (41.17). Первое из них определяет, при фиксированных значениях j\ и j2, возможные значения j. Однако его можно прочитать и по-другому. Пусть фиксированы, например, j\ и j2- Тогда согласно (41.17) число 22 меняется в пределах:
32 = ji + j, ji +j ~ 1, •\ji~j\- (41.21)
Наоборот, если фиксированы 22 и j? то Для ji имеем
ji = 32 + j, j2 + j — 1, • • •, 1*7*2 ~j|. (41.22)
Три соотношения (41.17), (41.21) и (41.22) выражают одно и то же правило векторного сложения двух моментов количества движения в квантовой механике. Будем называть его «правилом треугольника» и записывать в виде следующего символического равенства:
ji+j2+j3=0. (41.23)
190
Раздел 2
3. Векторное сложение спина si = ^
Л
со СПИНОМ S2 — 1
Это очень важный частный случай сложения двух моментов количества движения. С ним мы встречаемся, например, при описании спинового состояния протона и электрона в атоме водорода, при сложении спинов или изо спинов двух нуклонов и т. д.
Возьмем систему, состоящую из двух частиц (подсистем)
со спинами 5i = i и 52 = Введем следующие сокращенные обозначения для спиновых волновых функций xSimsl (01) и Xs2mS2 (о-2) каждой из частиц:
Xi 1(0-1) =Xa(l), Xl _i(o-i) =Х/з(1),
2 ’ 2 2’ 2
Xi 1(0-2) =Ха(2), Xl _i(o-2) =Х/з(2),
2 ’ 2 2’ 2
(41.24)
а также спиновой волновой функции всей системы
|s^SMsia,, <т2)> = \SMs). (41.25)
В соответствии с «правилом треугольника» полный спин всей системы может иметь два значения: S = 0 и S = 1. Вычисляя с помощью таблицы (Д11.5) значения соответствующих коэффициентов векторного сложения, получаем по формуле (41.14) для триплетных состояний (5 = 1, Ms = 1, 0, —1):
|1, 1)=Ха(1)Ха(2), (41.26)
