Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
% = -УГ? 7)№)=°,
2^'vVV • (4032)
Sz = 0,
соответствующие дисперсии не равны нулю:
СSy-sy)2 = (s.-s,)2 = (40.33)
Таким образом, выражение «спин частицы направлен по оси х» применительно к состоянию (40.29), действительно, условно.
184
Раздел 2
Мы рассмотрели случай s = Если спин частицы больше
половины, то в этом случае общее выражение спиновой волновой функции не соответствует состоянию с определенным значением проекции спина на какое-либо направление (см. упр. 10.11). Таким образом, если s ^ 1, то, не накладывая особых ограничений на вид волновой функции, нельзя сказать о направлении спина частицы даже в том узком смысле, как это принято для частиц со
спином s =
Упражнения к лекции 10
10.1. Написать матрицы операторов J2, Jx, Jy, Jz, J+, J_ для случая j = -.
10.2. Найти среднее значение проекции момента на направление п в состоянии | jm), где т есть проекция момента на ось z.
10.3. Найти средние значения величин J2, J2 в следующих состояниях:
a) j = \, т = i; б) j = 1, то = 0; в) j = 1, то = -1; г)
j = - гп = —
3 2'т 2'
10.4. Найти дисперсии величин Jx и Jy в состояниях:
a) j = 1, т = 0; б) j = 1, т = 1; в) j = i, т =
10.5. Доказать соотношения:
а) (ста)2 = а2/,
б) (cra)(crb) = (ab)/ + г([а х b]cr),
в) Sp(o-(cra)(crb)) = 2г[а х Ь],
где а, b — произвольные трехмерные векторы; I — единичный оператор; а = {дХ1 dyi azj — векторный оператор Паули, компонентами которого являются матрицы Паули (40.4); SpA — след матрицы А.
10.6. Упростить коммутатор [сга)(сгЬ)].
10.7. Доказать соотношение
егасгу _ j cog а _|_ g^n а^
где ау — матрица Паули, а — произвольный вещественный параметр.
Лекция 11
185
10.8. Доказать соотношения
ега(пст) _ j cog а gjn а?
еа(псг) = /cha + (пег) sha,
где п — произвольный единичный вектор; а, а — вещественные параметры.
10.9. Показать, что любую матрицу второго порядка можно разложить по четырем линейно независимым матрицам: I (единичная матрица), дх, ау и az.
10.10. Доказать соотношение (39.7).
10.11. Частица со спином 5 = 1 находится в состоянии X = 2-1/2(|1, 1) + |1, —1)). Существует ли направление, проекция спина на которое в данном состоянии имеет определенное значение? То же, если частица находится в состоянии х = = 3-1/2(|1, 1) + |1, 0) + 11, —1)).
10.12. Частица имеет спин s = i. Убедиться в том, что оператор
R(n, а) = expj^a(n • s)|,
где п — произвольный единичный вектор, а — вещественный параметр, есть оператор поворота на угол а вокруг оси п.
ЛЕКЦИЯ 11 §41. Сложение моментов количества движения
1. Коэффициенты векторного сложения
Правила квантования, которым подчиняются орбитальный и внутренний моменты количества движения отдельной частицы, оказываются справедливыми для полного момента частицы j =
N
= 1 + s, а также для суммарного орбитального L = спи_
N N k=1
НОВОГО S = И ПОЛНОГО J = 5^(1^ + S^) моментов
к=1 к=1
количества движения системы частиц. Докажем это утверждение.
186
Раздел 2
Пусть J есть сумма двух моментов количества движения
J = J(1)+J(2), (41.1)
причем операторы J-1 * и J(2) подчиняются перестановочным соотношениям (37.4), (37.5):
[¦?¦’. Л1’] [(J'1»)2. ^’] = О,
= [(J(2,f. 42)] = о. <4L2)
I
Из этих соотношений, как было показано в § 37, вытекают правила квантования:
(J(1))2 = + 1), jW = mi = ii, ji - 1, ..., —ii,
(J(2))2 = j2{h + 1), =m2= J2, Л - 1, . . • , -j2.
Дополним (41.2) перестановочными соотношениями
[j\1\jf)]= 0, (41.4)
показывающими, что операторы J^1) и j(2) действуют в разных пространствах. Из (41.4) также следует
[jf\ (J(2))2] = 0, [Jf\ (J^)2] = 0. (41.5)
Вводя оператор
J = J(1) + J(2), (41.6)
мы непосредственно получаем из (41.2) и (41.4)-(41.6) следующие перестановочные соотношения для этого оператора:
[Ji, Jk] = i ^ eiklJh [J2? Jk\ = 0, (41.7)
I
[J2, (J(1))2] = o, [Jfe, (J(1))2] = o,
[J2, (J(2>)2] = 0, [Jfe, (J(2>)2] = 0.
Заметим, что в то же время
[J2, [J2, Jf]^0. (41.9)
Лекция 11
187
Из (41.7) следует, что суммарный момент (41.1) подчиняется общим правилам квантования момента количества движения:
J2 = j(j + 1), Jz = m = j,j- 1, ..., —j. (41.10)
Перестановочные соотношения (41.8) показывают, что указание пары квантовых чисел j пт совместимо с указанием другой пары чисел — ji и j2. Это позволяет поставить вопрос: каковы возможные значения квантового числа j в (41.10) при фиксированных значениях чисел j\ и j2l Рассмотрим его.
Пусть \jimi) и \j2m2) — собственные функции операторов
(J^1))2, J^ и (j(2))2, J^ соответственно. Очевидно, что их произведение
\jim1)\j2m2) = |jPi, j2m2) (41.11)
является собственной функцией оператора Jz =
Л|Л^1, З2ГП2) = j2m2), (41.12)
причем соответствующее собственное значение этого оператора связано СШ1 и т2 простейшим образом:
т = Ш\ + 777*2 • (41.13)
Легко подсчитать, что полное число различных состояний
1hm2) при фиксированных j\ и j2 равно (2ji + l)(2j2 + 1)-
Можно убедиться непосредственно (а кроме того, это следует из (41.9)), что j2m2) не описывает, вообще говоря,
состояния с определенным значением j. Введем еще один набор состояний, которые обозначим \jij2jm); каждое из них есть одновременно собственное состояние операторов (J^1))2, (j(2))2, (J)2 и Jz, которые, как было показано выше, коммутируют между собой. При фиксированных j\ и j2 состояния \j\m\, j2m2) и \j1j2jm) представляют собой эквивалентные наборы; поэтому полное число различных состояний в каждом из этих наборов должно быть одним и тем же. Пусть СЛ™ „• т =
