Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
{Ап sin(A:nr) при 0 < г < R,
п Г D (ЗЗЛ1)
Dne пГ при г > R,
где
^ л/ЩЩ ?
Dn = Ane^nR sm(knR), а константа Ап определяется из условия нормировки
оо
I \ип(т)|2 dr = 1.
(33.12)
о
При этом для собственной функции гамильтониана получаем
и \Т)
V’nim(r) = V’noo(r) = Rn0(r)Y00(e, (fi) = , (33.13)
л/Аттг
так как Yoo(0? (р) = 1 /л/4тг.
При I = 0 все решения стационарного уравнения Шредингера сферически-симметричны, и вероятность пребывания частицы
Лекция 8
149
в любой точке пространства зависит только от расстояния до центра поля.
Заметим, что функцию Rni(r) при I = 0 можно представить в виде
Г Bnjo(knr) при 0 < г < Д,
Rno{r) = Л
J(ixnr) при г > Д,
где jo(p), йо1}(0 — сферические функции Бесселя и Ханкеля (см. Дополнение 8). Нетрудно проверить, что при I > 0 радиальная функция Rni(r) аналогичным образом выражается через сферические функции Бесселя и Ханкеля порядка I:
{ Bniji(knir) при 0 < г < Д,
^nz(r) = ш (33.14)
IC'nzfy J(ixnir) при г > Д,
причем kni (и хпг) определяются из условия сшивания в точке г = Д:
knij'i(kniR) _ iKnih^ (ixniR)
(штрих означает дифференцирование по аргументу).
Решения этого уравнения определяют дискретный спектр гамильтониана. В соответствии с общими свойствами решений уравнения (32.26) каждому собственному значению Eni (п = = 1,2, ...,7V) принадлежит только одна радиальная функция Rni(r) и (2Z + 1) собственных функций грп1т(т) вида (32.28).
Упражнения к лекции 8
8.1. Частица с массой р находится в 5-состоянии в сфериче-ски-симметричной прямоугольной потенциальной яме. Получить приближенное выражение для энергии связи частицы, если глубина Vo и радиус а ямы удовлетворяют соотношению
V п2 ~ 7Т‘2^2 у°а ~
Оценить вероятность пребывания частицы внутри и вне ямы.
150
Раздел 2
8.2. Найти энергии стационарных состояний нейтрона в ядрах 16О и 208РЬ, считая, что он движется в сферически-сим-метричной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками, а радиус ямы равен радиусу ядра
R = гоА1/3, го = 1,3 • 10-13 см,
где А — массовое число ядра.
8.3. Частица с массой р находится в основном состоянии в сферически-симметричной прямоугольной потенциальной яме с радиусом а и бесконечно высокими стенками. Найти среднеквадратичное расстояние частицы от центра ямы.
8.4. В условиях задачи 8.3 найти импульсное распределение.
8.5. Классифицировать состояния частицы в двумерной аксиально-симметричной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
8.6. Рассмотрим линейное пространство, образованное собственными функциями операторов Lz и L2, принадлежащими собственному значению I = 1 оператора L2.
В этом пространстве:
а) найти матрицы операторов LXl Ly, Lz, L2 в представлении собственных функций операторов Lz и L2, воспользовавшись явным видом этих функций и операторов;
б) найти собственные значения и собственные функции оператора Lx в представлении собственных функций оператора Lz,
в) найти матрицы операторов
Fx -Ь iLy ^ Lx %Ly
L+ = -----—----, L = --------—---
л/2 д/2
в представлении собственных функций оператора Lz; выяснить физический смысл этих операторов, воспользовавшись аналогией с операторами а и а+ из § 25.
8.7. Частица находится в сферически-симметричном поле в состоянии с I = 1, 1Х = 0 (1Х — проекция момента количества движения на ось х). Найти распределение проекции момента на ось z.
Лекция 9
151
8.8. Две частицы с массами тi и Ш2 связаны между собой центральным взаимодействием V{\r2 — ri|). Показать, что уравнение Шредингера, описывающее эту систему, распадается на два независимых уравнения, одно из которых описывает относительное движение частиц, а другое — движение их центра масс.
ЛЕКЦИЯ 9 § 34. Представление о «квантовых орбитах»
В классической механике орбитой частицы называется траектория ее движения. В квантовой механике термин «орбита» используется для обозначения стационарного состояния \nlrn) движения частицы в сферически-симметричном поле. Каждому энергетическому уровню Eni соответствуют 21 +1 «квантовых орбит».
Плотность пространственного распределения частицы, находящейся на орбите |nlm), есть
Pnlm(r, t) = |^„im(r, t)\2 = Rnl(r)Yim(e, (f)e =
= \Rnl{r)\2{2n)-1\eim(e)\2, (34.1)
т. e. она не зависит от азимутального угла ср (здесь мы использовали формулы (Д7.4) и (Д7.7)). Отсюда видно, что \Rni(r)\2 есть плотность радиального распределения, a |0/m(#)|2 — плотность распределения полярного угла частицы, движущейся по орбите | nlm).
Учитывая (32.22), получаем
Pnlm(@) = Pnlm(^ $)• (34.2)
Мы видим, что плотность пространственного распределения симметрична относительно плоскости в = тг/2. Кроме того, из (Д7.12) следует, что она не зависит от знака, магнитного квантового числа гп:
Pnlm(r, 0) = Pn,l-m(r, в). (34.3)
Для наглядного представления угловой зависимости этой величины удобно использовать полярные диаграммы
Pnim(r = const, в) ~ |0гт(6»)|2. (34.4)
152
Раздел 2
Например, в случае I = 0 полярная диаграмма представляет собой окружность, а при I = 1 имеем
(рис. 11).
Рис. 11. Полярные диаграммы пространственного распределения частицы в s- и ^-состояниях
