Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Д(1 /г) = —47Г^(г).
Следовательно, решение U2(r) при любом I ^ 0 должно быть отброшено.
Итак, в окрестности начала координат радиальная функция имеет вид
u(r)=Crl+1. (32.35)
Отсюда следует, что она удовлетворяет граничному условию
и(0) = 0. (32.36)
Таким образом,
Rni(r) = Ст1 при г —> 0. (32.37)
При этом плотность вероятности нахождения частицы в окрестности точки г = 0 есть
Pnimiг) = |VwO)|2 = C2r2l\Yim(e, ip)|2, (32.38)
т. e. она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше величина момента количества движения в данном состоянии.
В уравнении (32.26) для радиальной функции роль эффективной потенциальной энергии играет величина
Vl(r) + (32.39)
графики которой для некоторого V(r) и различных значений I приведены на рис. 9.
Лекция 8
145
Мы видим, что при увеличении I усиливается отталкивание в окрестности центра поля. Именно с этим обстоятельством связано уменьшение вероятности пребывания частицы вблизи центра поля. Член
h2 Kl +!) г2
называют «центробежной потенциальной энергией».
§ 33. Стационарные состояния для потенциалов притяжения с быстрым затуханием. Пример: сферически-симметричная прямоугольная потенциальная яма
Большинство встречающихся в природе взаимодействий между частицами описывается потенциалами, абсолютная величина которых достаточно быстро (быстрее, чем 1 /г) уменьшается при г —> оо (исключением является кулоновский потенциал и некоторые другие). Кроме того, во многих случаях можно считать, что на некотором расстоянии R взаимодействием можно совсем пренебречь, т. е. положить V(г) = 0 при г > R. Такие потенциалы называются короткодействующими, a R — радиусом их действия.
Примером быстро затухающего потенциала притяжения является потенциал Вудса-Саксона
V(r) = -V0{l + exp (33.1)
где Vo, Rna — некоторые положительные константы. Этот потенциал широко используется в ядерной физике для описания взаимодействия нейтронов с атомными ядрами. Параметр R определяет размеры области локализации взаимодействия, а параметр а — размеры той области, где происходит наиболее быстрое изменение потенциала. При а —> 0 потенциал (33.1) переходит в потенциал сферически-симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса R (рис. 10).
Для нахождения стационарных состояний надо решить уравнение (32.26). В общем случае это можно сделать только численно. Исключением являются кулоновский потенциал, потенциалы гармонического осциллятора, прямоугольной ямы (они будут рассмотрены ниже) и некоторые другие. Важной особенностью всех потенциалов, спадающих быстрее, чем 1/г, является универсальный вид волновой функции при г > Д, поскольку в этой области
146
Раздел 2
Рис. 9. Эффективная потенциальная энергия Vi(r) частицы в сферически-симметрич-ном потенциальном поле при различных значениях орбитального квантового числа I
взаимодействие пренебрежимо мало. Поэтому численное интегрирование уравнения для радиальной части волновой функции достаточно провести только во внутренней области, а затем к найденной функции надо «пришить» стандартный «хвост».
В этом параграфе мы найдем энергии и волновые функции стационарных состояний в сферически-симметричной прямоугольной потенциальной яме, когда в аналитическом виде может быть представлена не только асимптотика волновой функции, но и ее внутренняя часть.
Итак, найдем стационарные состояния движения в поле с потенциальной энергией:
Г — Vo < 0 при 0 < г < R, (I)
V(r) = i
{ 0 при г > R. (II)
Пусть I = 0. В этом случае уравнение (32.26) для радиальной функции принимает вид:
f^u{r) + ^{E-V{r))u{r)=Q. (33.2)
dr tr
Ищем его решения, удовлетворяющие требованиям непрерывности, квадратичной интегрируемости, непрерывности производной. В частности, они должны удовлетворять граничному условию (32.36)
гх(0) = 0.
Лекция 8
147
Ищем Е в интервале —Vo < Е ^ 0. В пространственной области (I) имеем
Щ + k2u(r) = 0, dr1
u(j)(r) — ^4sin(A:r) + В cos(kr),
где
к=±у/2ц(у0-\Е\). (33.3)
Из граничного условия (32.36) получаем В = 0, т. е.
u(i)(r) = Asin(kr). (33.4)
В пространственной области (II) имеем
^-^и(г)= 0, dr
u{ll)(r) =Ce"r + De-"‘г,
где
х= ^V2/4E|- (33.5)
Из условия квадратичной интегрируемости функции г/(г) получаем С = 0, т. е.
г/(п)(г) =De~"r. (33.6)
Производя сшивание функций и^(г) и г/(//)(г) в точке г = = Д, приходим к трансцендентному уравнению
—/с • ctg(fci?) = к, (33.7)
которому должна удовлетворять величина к, т. е. энергия системы. Графический анализ этого уравнения был произведен в § 14.
Обращаясь к рис. 5, мы видим, что решения уравнения (33.7) существуют только при условии
К ^ тг/2Д, К = ^ д/2/iVo,
т. е.
У0Д2 ^ h2TT2/Sfi. (33.8)
148
Раздел 2
Полное количество решений N определяется неравенствами
(^Г-|) (Цг + l)- (33-9)
Поскольку в каждом интервале
(1 + 2 (п - 1))|Д < к < (1 + 2п)|Д, n = l,2,...,N,
существует только одно решение уравнения (33.7), все его корни можно перенумеровать в порядке возрастания их величины
О < кх < к2 < • • • < kN.
Каждому корню кп соответствует значение энергии
Е« = Фк1~Уо (ззло)
и собственная функция
