Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
и(г) = Unl(r).
Лекция 8
141
Таким образом, искомые общие собственные функции операторов Н, Р, L2, Lz имеют вид
Фп1т{г) = Rnl{r)Yim(9, (fi), (32.28)
где
Р , ч ип1 (г)
Rnl{r) = f—.
Мы видим, что каждому собственному значению гамильтониана Eni соответствует (2Z +1) линейно независимых собственных функций, отличающихся значениями га (га = 0, ±1, ±2, ..., ±Z). Такое вырождение имеется в любом сферически-симметричном поле. Это «обязательное» вырождение можно было предвидеть еще до решения уравнения Шредингера. Действительно, в сфе-рически-симметричном поле все направления равноправны, а поэтому энергия системы не может зависеть от ориентации в пространстве вектора момента количества движения, в частности от величины его проекции на ось г.
Пусть фш и фш/ — волновые функции двух состояний, отличающихся только значениями га. Тогда любая линейная комбинация этих функций
Ф = СУ,фш “Ь /Зфт' ,
является собственной функцией гамильтониана, принадлежащей тому же энергетическому уровню, которому принадлежат фш и фт', но в отличие от них функция ф не является собственной функцией оператора Lz. Поэтому в состоянии ф проекция момента количества движения на ось z не имеет определенного значения. Таким образом, частица, движущаяся в любом сфери-чески-симметричном поле с некоторым определенным значением энергии, может находиться не только в состояниях с определенным значением проекции момента на некоторое направление, но и в бесчисленном множестве таких состояний, в которых проекция момента не имеет определенного значения (исключением является случай 1 = 0, когда проекция момента может иметь только одно значение га = 0).
В некоторых сферически-симметричных полях одному и тому же значению энергии системы может соответствовать несколько различных значений I, т. е. несколько линейно-независимых функций фп1ш. Это вырождение по I в отличие от «обязательного» вырождения по га иногда называется «случайным». Ниже мы встретимся с примерами такого «случайного» вырождения.
142
Раздел 2
Поскольку согласно Дополнению 2 собственные функции эрмитова оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны, для всех функций {фп1т} имеем
{Фп1т \Фп'1'т' ) = Зпп' $11' Зтт' • (32.29)
Отсюда, в частности, получаем
(Фп1т\Фп'1т) = Зпп' ч
т. е.
оо
J R*nl(r)Rnll(r)r2 dr = <W. (32.30)
о
Таким образом, функции Rni удовлетворяют условию нормировки:
оо
J\Rni(r)\2r2 dr = 1. (32.31)
0
Итак, стационарное состояние движения в сферически-симмет-ричном поле однозначно определяется тремя числами п, ш, для которых приняты следующие названия: п — главное квантовое число,
I — орбитальное квантовое число, т — магнитное квантовое число.
Совокупность состояний, отличающихся друг от друга только значениями ш, принято объединять в одно состояние и обозначать его символом (n, I) (иногда вместо п используется какой-либо другой индекс, характеризующий энергию состояния). При этом вместо значений орбитального квантового числа (Z = 0, 1,2, ...) обычно используются буквы латинского алфавита со следующим соответствием:
Z = 0, 1,2, 3,4, 5,6,...;
s, p,d, /, g, ( ;
Например, символ 3d обозначает состояние с квантовыми числами п = 3, / = 2 (точнее, совокупность состояний с п = 3, / = 2, т = 0, ±1, ±2).
Мы видим, что стационарные состояния в сферически-сим-метричном поле задаются тремя квантовыми числами (п, ш),
хотя мы их искали как собственные функции четырех коммутирующих операторов (32.5). Очевидно, это «несоответствие» объясняется тем, что не все четыре интеграла движения независимы.
Лекция 8
143
Действительно, из (32.22) следует, что четность состояния однозначно определяется квадратом момента количества движения, т. е. орбитальным квантовым числом
В то же время три других интеграла движения (Е, L2, Lz) образуют полный набор физических величин для данной системы (см. § 4), так как каждой совокупности значений этих величин соответствует одно и только одно линейно независимое состояние. Этот полный набор не является единственным, поскольку наборы (Е, L2, Lx), (Е, L2, Ly) тоже являются полными и не сводятся к набору (Е, L2, Lz).
Энергетический спектр системы определяется видом потенциальной энергии V(r). В дальнейшем мы будем в основном рассматривать движение в таких полях, потенциальная энергия в которых ограничена или в начале координат обращается в бесконечность не быстрее, чем 1 /г2, т. е. V(r) удовлетворяет условию
(32.33)
lim V(r)r2 = 0.
(32.34)
Примерами таких полей являются следующие:
1) прямоугольная яма
-Vo при 0 ^ г < а, 0 при г > а;
2) гармонический изотропный осциллятор
V(r) = iiio2r2 / 2;
3) кулоновское поле
V(r) = —Ze2/r\
4) экранированное кулоновское поле
V(r) = —(Ze2jr)e r^a, a = const.
Выясним поведение «радиальной» функции и (г) при г —> 0 для таких систем. Уравнение (32.26) принимает вид
144
Раздел 2
Легко проверить, что его решениями являются функции
U\{r) = CVZ+1, U2(r)=Cr~l.
Как видно из (32.25) и (32.31), второе решение при I ^ 1 не удовлетворяет условию нормировки, так как интеграл расходится на нижнем пределе. Это значит, что соответствующая волновая функция не является квадратично-интегрируемой и не может описывать какое-либо физическое состояние. При I = 0 функция R(r) = U2(r)/r = С/г не приводит к расходимости нормировочного интеграла (32.31), но не удовлетворяет уравнению Шредингера в точке г = 0, так как
