Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
n=0
Подставляя в (31.26) известную формулу (см. упр. 3.14)
х<Рп(х) = J^(y/n+l<pn+1(x) + л/гирп- 1(ж)), (31.27)
132
Раздел 1
получаем
хр(х, х') = J2J^Z 1(Р)(е phwf{x, х') + f(x', х)). (31.28)
Учитывая симметрию (31.21) функции р(х, х'), можем также написать
х'р(х, х') = JтА-Z 1((3)(е phu,f(x', х) + f(x, х')). (31.29)
2 реи
Из уравнений (31.28) и (31.29) находим
f(x, х') = у 1 - e~2^huJ)~1(x' - е~13Лшх)р{х, х').
(31.30)
Подставляя (31.30) в (31.24), получаем
др(х, Х>) Щ____________Х_ + ^_\р{х (313п
дх Гг V th(/3tho) sh(/?M'
Это и есть искомое уравнение для функции р(х, х'). Интегрируя его по х, находим
х') = CV) •
(31.32)
где С{х')— пока произвольная функция х'. Согласно (31.21) функция (31.32) должна быть симметричной относительно своих аргументов. Отсюда следует, что С(х') имеет вид
С(х') = С„ехр(-2Л (31.33)
где Со — некоторая константа. Находя ее из условия нормировки (29.3)
Лекция 7
133
окончательно получаем
(Ах, х‘) = УZJ, 'hf rj.х
х ехр(- 2П. tцт»)^+x'2) + h- “') • <3L34)
Это — матрица плотности в шредингеровском координатном представлении линейного гармонического осциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии с термостатом при температуре Т = 1 /к/3.
Диагональные элементы этой матрицы согласно (29.14) дают плотность координатного распределения осциллятора:
W(x) = р(х, х) = ^^ th (J^[3hu?j х exp^— ^ th (J^[3hu?jx2^j.
(31.35)
Это — нормальное (гауссово) распределение с нулевым средним значением и дисперсией
°- = %ЬСЧ?Г“)' <3136)
Зная матрицу плотности в координатном представлении, нетрудно найти матрицу плотности этого же состояния в импульсном представлении. Согласно (24.25) имеем
(р\р\р') = J {p^ixlplx^ix'lp^dxdx’. (31.37)
Подставляя сюда одномерные обобщенные собственные функции оператора импульса, получаем
р(р, рг) = (р\р\р') = (2тгН)~1 J р(х, х')е^Р Х РХ^ dxdx'.
(31.38)
Вычисляя этот интеграл с функцией р(х, х') в виде (31.34), находим
/ th(/?faj/2) / р2+р'2 рр' \
^ ^ у ттНрио \ 2hpuo th(Phuj) hpuj sh(f3huj))
(31.39)
134
Раздел 1
Конечно, эту формулу можно получить, отправляясь от выражения, аналогичного (31.20):
оо
(р\р\рг) = 2~г{(3) ^2 e~0En!Pn{pWn{p'), (31.40)
п=0
где {фп(р)} — волновые функции стационарных состояний осциллятора в импульсном представлении.
Следовательно, импульсное распределение имеет вид
Это нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией
Dp = (31.42)
Очень поучительно проанализировать зависимость полученных распределений от температуры термостата Т, которая согласно (31.14) определяет статистические веса чистых состояний (стационарных состояний осциллятора) в рассматриваемом смешанном состоянии. При малых Т основной вклад в смешанное состояние дают стационарные состояния осциллятора с малыми энергиями. При Т —> 0 из (31.18), (31.19) и (31.35) получаем
Ё^Пио/2, De~ 0, (31.43)
W(x) « ехр (— . (31.44)
Сравнивая эти выражения с (11.19) и (11.21), видим, что они совпадают с соответствующими выражениями для основного состояния осциллятора. Это значит, что при Т —> 0 смешанное состояние асимптотически переходит в чистое состояние. Однако при
любом Т ф 0 имеется примесь возбужденных состояний.
С ростом температуры вклад состояний с большими энергиями растет. При Т —> оо (фактически при кТ Нсо) из (31.18),
Лекция 7
135
(31.19), (31.35) и (31.41) получаем
ЁиИ1, DE~(kT)z, (31.45)
(31.46)
(31.47)
где
y/2iтркТ
V(x) = ^рио2х2 (31.48)
— потенциальная энергия осциллятора,
К(р)=р2/2р (31.49)
— кинетическая энергия осциллятора.
Распределение (31.47) есть распределение Максвелла. Его характерной особенностью является независимость от вида потенциальной энергии V(x).
Мы видим, что при Т —> оо все распределения не содержат постоянной Планка h. Это указывает на то, что движение становится классическим.
Упражнения к лекции 7
7.1. Доказать соотношения (29.23) и (29.24).
7.2. Найти матрицу плотности линейного гармонического осциллятора в энергетическом представлении для произвольного момента времени, если при t = 0 его состояние описывается волновой функцией из упражнения 3.10.
7.3. Найти матрицу плотности линейного гармонического осциллятора для произвольного момента времени, если при t = 0 его состояние является некогерентной смесью основного и первого возбужденного стационарных состояний с весами р\ и р2. Рассмотреть энергетическое, импульсное и координатное представления. Найти средние значения и дисперсии соответствующих распределений.
7.4. Получить формулу (31.39), отправляясь от (31.40).
7.5. Найти матрицу плотности свободной частицы в термостате. Получить ее координатное и импульсное распределения.
Раздел 2
ДВИЖЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
ЛЕКЦИЯ 8
В разделе 1 были рассмотрены основные положения квантовой механики и приведены примеры их использования для решения некоторых простейших одномерных задач. В данном разделе будет рассмотрена одна из наиболее важных трехмерных задач — движение частицы в сферически-симметричном поле. Кроме того, будет рассмотрен математический аппарат теории момента количества движения, который позволит нам естественным образом ввести понятие спина.
