Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
§ 32. Движение частицы в сферически-симметричном поле (дискретный спектр)
Найдем стационарные состояния движения частицы в сферически-симметричном поле с потенциальной энергией
У(г)=У(|г|).
Для этого надо найти решения стационарного уравнения Шредингера
Нф(г)=Еф(г), Я = -(^)У2 + У |г|), (32.1)
Лекция 8
137
удовлетворяющие во всем пространстве требованиям непрерывности, квадратичной интегрируемости и непрерывности градиента.
Ввиду сферической симметрии поля задачу удобно решать в сферической системе координат (г, в, ф), начало которой совпадает с центром симметрии поля, а полярная ось имеет некоторое произвольное направление:
х = г sin в cos ср, у = г sin в sin ср, z = г cos в,
(см. упр. 2.3).
Как мы отмечали в § 16, знание интегралов движения системы обычно позволяет упростить решение уравнения Шредингера. Поэтому и в данном случае начнем с выявления сохраняющихся физических величин.
Легко видеть, что гамильтониан системы (32.1) инвариантен относительно операции Р инверсии пространства (см. § 12), а поэтому четность есть интеграл движения.
Интегралами движения являются также квадрат момента количества движения L2 и любая его проекция Li(i = х, у, z) (см. упражнение 2.5). Кроме того, легко проверить (см. упр. 1.7), что
где г имеет какое-нибудь одно из трех возможных значений х, ?/, г, коммутируют друг с другом. Подчеркнем, что в этот набор может быть включена только одна компонента оператора L = = {LX1 Ly, Lz}, так как различные компоненты этого оператора не коммутируют между собой.
0^г<оо, 0^#^7г, 0 ^ ср < 2тт.
(32.2)
(32.3)
А =
1
sin#
[L2, Li] = 0, но [Li, Lk] ф- 0 при i ф к,
а также
[L2, Р] = О, [U, Р] = 0.
Таким образом, все четыре оператора
(32.4)
138
Раздел 2
Поскольку все направления в сферически симметричном поле равноправны, то в дальнейшем будем рассматривать следующий набор взаимно коммутирующих операторов:
Я, Р, L2, Lz, (32.5)
т. е. будем искать такие решения ф(г) уравнения Шредингера, которые являются собственными функциями всех этих операторов. В сферической системе координат соответствующие уравнения имеют вид:
Ш^)-]^* + ?{Е-у{г>уф = 0' <32'6)
f/fy = Ь2ф, (32.7)
Ьгф = Ь,ф, (32.8)
Рф = Рф, (32.9)
где
L2 = -h2A = —(32.10) sin в\дв\ дв) sin в dtp )
Lz = -ih-Q-. (32.11)
дер
(см. упр. 1.9).
Собственные значения и собственные функции оператора Lz есть (см. упр. 1.10)
Lz = hm, т = 0, ±1, ±2, ±3, ..., (32.12)
фт(г) = F(r, в)Ф(32.13)
где
Фт(ф) = (27r)“1/2eimv, то = 0, ±1, ±2, ±3, ..., (32.14)
причем
27г
Ф*т(1р)Фт>(<р) dip = 5тт,, (32.15)
о
a F(r, 0) есть произвольная квадратично-интегрируемая функция.
/•
Лекция 8
139
Из математики известно, что собственные значения оператора L2 даются формулой
Ь2 = Щ + 1)К2, 1 = 0, 1, 2, 3, (32.16)
а каждому собственному значению соответствуют собственные функции:
?1т(в, ip), то = О, ±1, ±2, ..., ±1; (32.17)
это сферические функции (см. Дополнение 7), удовлетворяющие условию ортонормированности на сфере
7Г 277
J J У4(0, (fiW'm'iO, ?>)sin 6dB dtp = бц'бтт'• (32.18)
О О
Сферические функции Угш(0, у?) всегда могут быть представлены в виде
Ylm(6,<p) = Qim(6) Фт(у>), (32.19)
где Oim(0) — некоторые ограниченные функции (см. (Д7.5)). Следовательно, каждая функция Угш(0, ip) является также собственной функцией оператора Lz, принадлежащей собственному значению mh:
LzYlm(0, ср) = mhYlm(0, ср). (32.20)
Сферические функции при I = 0, 1, 2 имеют следующий явный вид:
I = 0, т = 0 I = 1, т = ±1 т = 0
УЬ,0 = 1/
Vi,±i = =F\/3/87гsin# • e±lv, Ylfi = л/zficose,
1 = 2, m = ±2 : Y2 ±2 = \\ Ш sin2 в • e±2i4>, (32.21)
’ 4 у Z7T
m = ±1 : >2 ±1 = cos# sin# • е±г</?,
’ Z у Z7T
m = 0 : F2,o = (3cos26> - 1).
В математике показывается, что каждая сферическая функ-
ция Yim(6, ip) удовлетворяет соотношению
Р?1т(в, <р) = Ylm(ir -0,<p + ir) = (-1 )1У1т(в, <р), (32.22)
140 Раздел 2
т. е. Yim(6, ср) есть собственная функция оператора инверсии, принадлежащая собственному значению (—I)1.
Итак, мы видим, что функции
V>im(r) = R(r)Yim(e, ifi), I = 0, 1, 2, 3,
m = 0, ±1, ±2, ±1, ( ' ’
где R(r) — некоторая функция г, являются общими собственными функциями операторов L2, La, Р. Подставляя V’Zm(r) в уравнение Шредингера (32.6), получаем
1 d ( 2dR(r)\ l(l + 1)r>,\ , 21Л/ТР \\г>г \ п
7>Тг\Г ~ИГ)---------^R(r)+-(E-V(r))R(r) =0, (32.24)
т. е. ф1т(г) есть собственная функция гамильтониана (32.1), если R(r) удовлетворяет уравнению (32.24) и является непрерывной квадратично-интегрируемой функцией с непрерывной первой производной. Уравнение (32.24) иногда называют радиальным уравнением Шредингера.
Введем новую функцию
u(r) = гД(г), (32.25)
для которой из (32.24) получаем уравнение
dLpd + ^(E-Vl(r))u(r)= 0, (32.26)
dr tr
где
Vl(r)=V(r) + 1 = 0, 1, 2, 3, ... (32.27)
2/i rl
Уравнение (32.26) внешне совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения частицы в поле с потенциальной энергией Vi(r).
Пусть Eni (п = 1, 2, 3, ...) есть n-е собственное значение
уравнения (32.26) при фиксированном I. Аналогично тому, как
в § 12 было доказано, что все дискретные энергетические уровни частицы в произвольном одномерном потенциальном поле невырождены, легко показать, что каждому значению Eni соответствует только одно линейно независимое решение уравнения (32.26):
