Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
в) макроскопическая частица с массой 1 мг, первоначально локализованная в области диаметром 1 мм.
5.7. Найти импульсное распределение в состоянии (22.15).
98
Раздел 1
5.8. Показать, что матрица оператора преобразования (20.1) для поворота на бесконечно малый угол да вокруг направления
п = {пх, пу, Tiz] имеет вид
Cl nzda —пу5а\
—nz5a 1 пх5а ) .
пу5а —пх5а 1 /
5.9. Показать, что оператор g(n, 5 а) из упражнения 5.8 удовлетворяет коммутационному соотношению
g(x, S<px)g(y, деру) -д(у, 5<ру)д(х, 5<рх) = I-g{z, 5<pz), где Sipz = 5tpx6(py.
ЛЕКЦИЯ 6 § 24. Матричная формулировка квантовой механики 1. Общие положения
В § 23 было показано, что произвольному состоянию квантовой системы можно поставить в соответствие элемент гильбертова пространства I2, т. е. некоторую бесконечную последовательность комплексных чисел. Пусть ф(?) — волновая функция состояния в пространстве L2. В пространстве I2 этому состоянию соответствует вектор {ап}^°, компоненты которого согласно (23.3) имеют вид
ап = (МО №)), (24.1)
где {^n(C)}i° — некоторый базис в L2. В качестве элементов этого базиса мы взяли собственные функции некоторого эрмитова оператора G с чисто дискретным спектром.
Теперь установим соответствие операторов, действующих в пространствах L2 и I2. Пусть F есть некоторый линейный оператор, определенный в L2, а ф(?) — произвольный вектор из его области определения. Образом вектора ф Е L2 в пространстве I2 является вектор (24.1), а образом вектора Гф Е L2 является вектор {((^n|F^)}J°. Используя (23.2) и (23.3), находим:
оо оо
(4>n\F$) — (<Pn\F 'У у ((Рт | Ф)(Рш) = У ] V^m) (фт\Ф) •
т=1 т=1
(24.2)
Лекция 6
99
Следовательно, оператору F, действующему в 1/2, соответствует в пространстве I2 матрица с элементами
Fnm — {^Рп \F\фтп) ? имеющая бесконечное количество строк и столбцов:
(24.3)
{Fnrn}n т=1
/ Fi 1 F12 Fi 3
F21 F22 i*23
ibi Fn2 F7
n3
V-
\
(24.4)
Первый индекс элемента Fnm мы используем для обозначения номера строки, а второй — для обозначения номера столбца, на пересечении которых находится элемент. Элементы этой матрицы называются матричными элементами оператора F и полностью определяются его видом в L2 и полным набором собственных функций {(fn}i° оператора G, также заданных в L2. Поэтому говорят, что матрица (24.4) есть оператор F в G-представлении.
Выразим среднее значение физической величины F в некотором состоянии ф G 1/2 через матрицы оператора F и вектора ф в G-представлении:
F = (Щ %> = =
п
= ^ ^{^Рп \Ф) ^ ^ Fnrn {(рш |*0) = ^ |*0) ?
т. е.
F = Y,anFnmCLm- (24.5)
пт
Здесь мы последовательно воспользовались формулами (23.6),
(24.1), (24.2). Вектор удобно представлять в виде одно-
строчной матрицы с бесконечным количеством элементов:
К1Г = Ка5, (24.6)
Представляя вектор {ат}^° в виде одно столбцовой матрицы, мы можем записать (24.5) в виде произведения трех матриц, используя обычное определение матричного произведения («строка на
100
Раздел 1
столбец»):
F = (a\al,
/Fn F\2 F13 ... Fin .. Д
F21 F22 F23 • • • ^2n
Fni Fn2 Fn3 .
V
/аЛ
«2
V : /
(24.7)
Рассмотрим некоторые свойства матричного представления операторов.
1) ^(0=E<^n|^)^n(0=E^nm<^m|^)^n(0- (24'8)
п пт
Здесь мы воспользовались формулой (24.2). В частности, при ф = = срт получаем
2) ((pn\F\(pm) = ((pm\F+\(pn)*,
так как
(24.9)
(24.10)
{^Рп — {(PnlFtprn) — (F~^~ (fn\(Prn) —
= {фш\F+fny = {(рш\Р^ \ (pn)*.
Если F = F+, то отсюда получаем
{(fn = (фт ?
т. e.
(24.11)
Следовательно, эрмитову оператору, заданному в L2, соответствует в пространстве I2 эрмитова матрица.
з) {vnihhWm) = (24.12)
I
Для доказательства этого соотношения используем формулу (24.9)
(<pn\FiF2\<pm) = (<Pn\Fi\F2<Pm) =
= (<Pn\Fi\ 'У ^((pi\F2\(prn)(pi({;)) = 'У ^{(pn\Fi\(pi)((pi\F2\(pm)•
Лекция 6
101
Таким образом, произведению двух линейных операторов в L2 соответствует в I2 произведение их матриц.
4) {tPn\G\LPm) = GmSnm, (24.13)
если Gcpm = Gmcpm. Следовательно, матрица оператора в представлении его собственных функций диагональна, а диагональными элементами являются собственные значения оператора.
Используя эти свойства матричных элементов, можно любое операторное выражение, заданное в L2, записать в матричной форме, т. е. преобразовать в пространство I2. Пусть, например, имеем в L2
С=[А,В].
Образ этого соотношения в I2 есть
(<Рп\С\(рт) = ^2{(<Pn\A\<pi){<pi\B\ipm) ~ (ipn\B\(pi) ((pi\A\ipm))',
I
здесь мы воспользовались соотношением (24.12).
Теперь рассмотрим вопрос о преобразовании матриц векторов и матриц операторов при переходе от одного представления к другому.
Пусть В и G — два эрмитовых оператора с чисто дискретными спектрами:
Вфп(?) — Впф7г(?), (Фп\Фт) = $пт->
= ? {(Рп\(Рт) = $nrri'
Базисы {фп}Т и Wn\i° определяют два матричных представления (5-представление и G-представление соответственно). Каждый вектор 5-базиса можно разложить по векторам G-базиса:
оо
Фуг(?) = ^2((Рт\Фп)‘Рт(0- (24.15)
т=1
Введем обозначение:
?>тп — (фт\Фп) - (24.16)
Тогда (24.15) принимает вид
Фп = У ^ $гтп^Ртч (24.17)
102
Раздел 1
