Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в G-представлении каждому состоянию однозначно сопоставляется последовательность комплексных чисел {ап}i°, которая удовлетворяет уравнению замкнутости (Д1.5):
— GnC^n(?), {(Рп\(Рт) — Зпт- (23*1)
оо
(23.2)
71=1
где
an(t) = (<рп(0\Ф(?, t)).
(23.3)
/аЛ
{ап0)}“
(23.4)
: /
ОО
5>„|2 = м2 = 1.
п=1
(23.5)
92
Раздел 1
Множество всех числовых последовательностей
/ = {*»}?> 9 = {Уп}~
для которых
оо
оо
5>„|2<oo, Elynl2<00’
п=1
п=1
представляет собой бесконечномерное линейное пространство со следующими определениями операций сложения и умножения на число:
где а — произвольное комплексное число. Скалярное произведение в этом пространстве можно ввести с помощью соотношения
Тогда норма вектора / может быть определена с помощью скалярного произведения:
Это нормированное пространство в математике обозначается символом I2. Оно является бесконечномерным аналогом конечномерного евклидова пространства.
Мы видим, что каждому элементу пространства L2 по формуле (23.3) можно поставить в соответствие один и только один элемент пространства I2 и наоборот, причем алгебраическим операциям над элементами из L2 соответствуют те же операции над их образами в I2, а нормы соответствующих друг другу элементов из 1/2 и I2 равны в силу (23.5). Следовательно, пространства L2 и I2 алгебраически изоморфны и изометричны. Поэтому для описания квантово-механических состояний мы можем использовать векторы как из 1/2, так и из I2.
В §§18, 19 мы показали, что все представления, связанные унитарными преобразованиями, эквивалентны, потому что распределения всех физических величин одинаковы во всех представлениях. Действительно, как мы видели, скалярное произведение любых двух векторов является инвариантом унитарного
f + g = {хп+Уп}™, af = {ахп}~,
ОО
(23.6)
71=1
ОО
(23.7)
Лекция 5
93
преобразования, а все распределения физических величин всегда можно представить в виде соответствующих скалярных произведений.
Эта ситуация совершенно аналогична той, которая имеет место в конечномерном линейном пространстве при переходе от одного ортонормированного базиса к другому. Если вектор а характеризовать совокупностью его проекций на базисные орты {ai, <22, • • •, cin}, то эта совокупность чисел является определенной только в том случае, если базис фиксирован. При переходе к другому базису координаты вектора изменяются. Однако это преобразование унитарно, а поэтому сохраняет значение скалярного произведения любой пары векторов.
Так, мы видим, что одно и то же состояние в зависимости от выбранного представления может характеризоваться тем или иным множеством чисел. Если представление задается оператором с чисто дискретным спектром, это множество дискретное. Если представление задается оператором с чисто непрерывным спектром, множество тоже непрерывное. Возможен и смешанный случай.
Для описания состояния системы безотносительно к выбранному представлению в квантовой механике вводится понятие вектора состояния, который является элементом абстрактного гильбертова пространства Ж. Для обозначения вектора состояния Дираком был предложен специальный символ
где а играет роль идентификатора состояния. Вектор состояния | а) не является числом; он аналогичен введенному выше вектору а конечномерного линейного пространства. В математике показывается, что все гильбертовы пространства изоморфны друг другу. Поэтому пространства 1/2, Ь, Ж эквивалентны с точки зрения их использования для описания состояний.
Обозначим через совокупность собственных векторов
оператора F физической величины F в пространстве Ж и рассмотрим множество скалярных произведений {(Fn\a)}. Это множество чисел является волновой функцией
состояния |а) в представлении физической величины F. Символ а называется индексом состояния, а символ Fn — индексом представления. Например, в рассмотренном выше G-представлении
и
(23.8)
Фа^п) = (Fn\a)
(23.9)
94
Раздел 1
роль |Fn) играют собственные векторы оператора G с чисто дискретным спектром, а соотношение (23.9) имеет вид (23.3). В координатном представлении роль |Fn) играют обобщенные собственные векторы оператора координаты ?, а соотношение (23.9) записывается в виде (18.15) или (18.16). В импульсном представлении роль |Fn) играют обобщенные собственные векторы оператора импульса р, а соотношение (23.9) записывается в виде (18.1). Множество чисел (Fn\a), т. е. числовая функция ^a(Fn), аналогично введенному выше множеству чисел {ai, <22, • • •, «п}, являющихся координатами вектора а в конечномерном линейном пространстве.
Итак, в квантовой механике роль базисных ортов играют собственные векторы и обобщенные собственные векторы операторов физических величин некоторого полного набора. В представлении Шредингера базисные орты остаются постоянными во времени, а эволюция состояния описывается изменением со временем вектора состояния. Этому соответствует изменение значений проекций вектора состояния на базисные орты, что изображается зависящей от времени волновой функцией. В представлении Гейзенберга операторы физических величин зависят от времени, а поэтому зависят от времени соответствующие базисные орты. Следовательно, представлению Гейзенберга отвечает выбор такой системы базисных ортов, которая непрерывно изменяет свое положение в гильбертовом пространстве с течением времени. При этом закон движения базиса определяется гамильтонианом системы. Вектор состояния в представлении Гейзенберга от времени не зависит, что изображается постоянной во времени волновой функцией.
