Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
ср'(г') = ср( г), (20.4)
где гиг' связаны условием (20.1), а г пробегает все значения из области определения функции ср(г).
Используя (20.1), перепишем (20.4) в виде
?>'(г') = (20.5)
так как
г = д~1(лУ- (20.6)
Следовательно, для нахождения функции у/(г') в системе отсчета К' надо в функции ср(г), заданной в системе К, произвести замену независимой переменной по формуле (20.6) и рассматривать полученную функцию как функцию новой переменной г'.
Поскольку обозначение аргумента функции может быть произвольным, соотношение (20.5) можно, в частности, записать и в таком виде:
<р'{ г) = <p{g~l{r}) г). (20.7)
Введем оператор S(rj), преобразующий функцию ср в функцию ip'\
</( г) = S(ri)ip( г). (20.8)
Сравнивая (20.8) с (20.7), получаем следующую формулу для оператора преобразования S(rj):
S(ri)ip( г) = (p(g-1(ri)r). (20.9)
В случае преобразования сдвига (20.2) оператор S определяется
вектором сдвига а и называется оператором трансляции. Будем его обозначать символом Т(а). Следовательно,
f(aV(r) = <^(г+ а).
(20.10)
82
Раздел 1
Разложим правую часть этого равенства в ряд Тейлора относительно точки г:
^ (aVr)fc
ф + а) = 2^ ——Ф) = exp(aVr)</j(r).
к=О
Сравнивая с (20.10), получаем
Т( а) = exp(aVr), (20.11)
так как ср(г) — произвольная функция.
Итак, при сдвиге системы отсчета на вектор а любая числовая функция преобразуется по закону (20.8), а оператор преобразования дается формулой (20.11).
Для преобразования поворота (20.3) на бесконечно малый угол 5 а вокруг оси п совершенно аналогично найдем оператор поворота
R(п, да) = exp(fo[n х r]Vr). (20.12)
Нетрудно проверить, что два последовательных поворота вокруг некоторой оси эквивалентны повороту на угол, равный сумме углов последовательных поворотов. Поэтому для нахождения оператора поворота вокруг оси п на конечный угол а представим этот поворот в виде последовательности поворотов вокруг этой оси на малые углы Aaf.
т
а = ^ А
г=1
Используя (20.12), получаем
R(п, а) = ехр(а[п х r]Vr). (20.13)
Рассмотренные нами преобразования числовых функций являются простыми следствиями геометрических свойств физического пространства, а поэтому имеют универсальный характер и широко используются в теоретической физике. В квантовой механике они применяются к волновым функциям, описывающим состояния квантовой системы.
Поскольку операторы импульса и момента импульса частицы согласно (3.2) и (3.12) есть
р = -ifrVr и L = —ih[г х Vr],
Лекция 5
83
операторы (20.11) и (20.13) можно переписать в виде
Т( а)=ехр^ар^, (20.14)
i?(n, а) = exp^a(nL)^ . (20.15)
Следовательно, операторы импульса и момента импульса непосредственно связаны с преобразованиями сдвига и поворота.
Легко проверить, что найденные операторы трансляции Т(а) и поворота i?(n, а) унитарны. Поэтому для нахождения закона преобразования операторов F физических величин можно воспользоваться результатом (19.8) из предыдущего параграфа. Следовательно,
F' = SFS+, (20.16)
где F' — оператор в преобразованной системе отсчета.
Частным случаем преобразования сдвига является переход из одной инерциальной системы отсчета К в другую К', движущуюся относительно первой системы со скоростью v, а частным случаем преобразования поворота — переход во вращающуюся систему отсчета.
§21. Представление Шредингера и представление Гейзенберга
В § 1 мы ввели волновую функцию ф(?, t) для описания состояния системы в произвольный момент времени t. При этом распределение вероятностей физической величины F в этом состоянии в момент t согласно (2.24) и (2.25) определяется скалярным произведением функции ф(?, t) и собственной функции срп или обобщенной собственной функции Xf оператора F:
p(Fn,t) = \{<pn\ip(t))\2, p(f,t) = \(xf\ip(t))\2. (21.1)
Поскольку оператор F обычно не зависит от времени, функция срп и Xf тоже не зависят от t.
Временная зависимость волновой функции задается уравнением Шредингера
84
Раздел 1
Если гамильтониан Н не зависит от времени, то согласно (6.2) его решение можно записать в виде
rKZ,t)=U(t,to=0)il>(S,to = 0), (21.3)
где U(t,to)=exp(-^H-(t-to)) (21.4)
есть оператор эволюции системы.
Мы видим, что изменение волновой функции с течением времени может быть представлено как результат унитарного преобразования, оператор которого U зависит от времени.
В § 19 было показано, что производя унитарное преобразование всех векторов пространства состояний L2 и всех операторов, действующих в этом пространстве, можно получить новое описание физических свойств системы, совершенно эквивалентное исходному. В § 18 мы уже познакомились с двумя эквивалентными представлениями — координатным и импульсным. Характерной особенностью унитарного преобразования, связывающего эти представления, является его независимость от времени. Мы видели, что в этом случае изменение представления сводится к замене независимой переменной волновой функции, а эволюция волновой функции во времени по-прежнему описывается уравнением Шредингера (21.2).
Если же оператор унитарного преобразования зависит от времени, изменяется сам закон временной эволюции волновой функции состояния. Представление, в котором волновая функция изменяется во времени в соответствии с уравнением Шредингера, называется представлением Шредингера.
